ITÉRATION, mathématique

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Itérer signifie recommencer, faire à nouveau. Construire les nombres entiers peut être vu comme l'opération consistant à partir de zéro à itérer indéfiniment l'ajout d'une unité.

Plus généralement, en mathématiques, lorsqu'une fonction ou opération est disponible, il est fréquent d'en envisager l'itération, celle-ci conduisant soit à de nouvelles fonctions ou opérations, soit à des structures ou propriétés intéressantes.

La multiplication est le résultat de l'application itérée de l'addition : a.b = a + + ... + a (a étant écrit b fois).

L'exponentiation est le résultat de l'application itérée de la multiplication : ab a × a × a × ... × a (a étant écrit b fois).

La notation fn est souvent utilisée pour noter l'itération n fois d'une fonction f (ayant même ensemble de départ et d'arrivée), c'est-à-dire la composée n fois de suite de f avec elle-même : f1(x) = f(x) ; fn+1(x) = f(f n (x)).

Une fonction f étant donnée, ainsi qu'un point de départ x(0), on définit la suite des itérées de x(0) par f, en posant pour tout entier n : x(n+1) = f(x(n)), ou, ce qui revient au même, en posant pour tout entier n : x(n) = fn(x(0)). Il s'agit d'un cas particulier des suites définies par relations de récurrence.

L'étude de l'itération des fonctions et des suites itérées est pleine de surprises. Sous certaines conditions (par exemple : f de ℝ dans ℝ et continue, x(n) bornée, monotone) la suite x(n) converge vers une valeur limite a telle que f(a) (a est appelée point fixe de f). Le plus souvent cependant la suite x(n) aura un comportement plus complexe. Dans le cas où f est une application d'un ensemble fini dans lui-même, pour tout x(0), la suite x(n) aboutit sur un cycle de f, c'est-à-dire sur un point x(m) tel que fk(b) = b et fj(b) ≠ b pour = 1, 2, ... k – 1.

Plus inattendu est le résultat suivant découvert au milieu du xxe siècle : si f est une fonction continue de l'intervalle [ab] dans lui-même (a et b étant deux nombres réels) et possède un cycle d'ordre 3, alors elle possède un cycle d'ordre n pour tout entier > 1.

En [...]


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Pour citer l’article

Jean-Paul DELAHAYE, « ITÉRATION, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/iteration-mathematique/