STATISTIQUE MÉCANIQUE

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Fondements

Moyennes temporelles, problème ergodique, ensemble microcanonique

On part de la mécanique microscopique à laquelle obéissent les particules constitutives du système qu'on veut étudier. En principe, c'est la mécanique quantique, et elle engendrera une mécanique statistique quantique. En fait, la mécanique classique est souvent une approximation suffisante (par exemple, pour décrire les mouvements de translation, dans la plupart des cas, des molécules d'un fluide) ; une description classique au niveau microscopique sera la base de la mécanique statistique classique. Celle-ci peut être obtenue à partir de la mécanique statistique quantique en faisant tendre la constante de Planck h vers zéro.

Bornons-nous pour l'instant au cadre classique. On définit un état microscopique du système auquel on s'intéresse par la donnée de M coordonnées qi et de M moments conjugués pi ; par exemple, pour un système formé de N molécules, dans le cas où la structure interne de ces molécules peut être négligée, les qi sont les 3 N composantes cartésiennes des positions des molécules, les pi étant les 3 N composantes cartésiennes de leurs quantités de mouvement. Un état microscopique peut donc être représenté par un point de coordonnées q1, q2, ..., qM ; p1, p2, ..., pM dans un espace abstrait à 2 M dimensions, qu'on appelle l'espace des phases. Au cours du temps, le point représentatif évolue et décrit une trajectoire dans l'espace des phases.

Une variable dynamique est une fonction A(q1, ..., qM ; p1, ..., pM), qui dépend implicitement du temps, par l'intermédiaire des pi et des qi (son évolution au cours du temps est régie par les équations de Hamilton ; cf. mécanique analytique). Une mesure de A dans un système en équilibre s'effectue toujours pendant un temps τ, qui est très long à l'échelle des mouvements microscopiques. C'est donc une moyenne temporelle de A sur un temps « infini » que l'on observe :

Par exemple, la pression d'un fluide s'obtient en prenant la moyenne temporelle de la résultante des forces que les molécules exercent sur un élément de paroi.

Si le système est isolé, son énergie demeure constante, et la trajectoire de son point représentatif dans l'espace des phases reste sur une hypersurface d'énergie constante à 2 M − 1 dimensions. On simplifiera le langage en supposant que l'énergie, définie seulement à δE près (δE étant petit), est comprise entre les valeurs E et E + δE ; la trajectoire reste alors à l'intérieur de la couche d'énergie comprise entre les hypersurfaces d'énergies E et E + δE. Dans cette couche, la trajectoire est fantastiquement compliquée, et le principe de base de la mécanique statistique consiste à dire que la trajectoire remplit avec une certaine uniformité toute la couche d'énergie.

S'il en est ainsi, on peut considérer un ensemble de systèmes identiques dont les points représentatifs sont répartis dans l'espace des phases avec une densité ρ(q1, ..., pM), qui sera ici une constante positive dans la couche d'énergie et nulle en dehors de cette couche. Cette loi de répartition définit un ensemble microcanonique. La moyenne temporelle (1) relative à un système pourra alors être remplacée par une moyenne sur un ensemble dans l'espace des phases :

on a supposé la densité ρ normalisée :

Le problème de démontrer l'équivalence entre (1) et (2) constitue le problème ergodique. Ce problème, extrêmement difficile, n'est qu'imparfaitement résolu à l'heure actuelle. Des progrès importants ont cependant été faits ces dernières années par des physiciens soviétiques, notamment par Y. Sinai qui a résolu le problème ergodique dans le cas particulier d'un modèle de gaz fini formé de sphères impénétrables. D'autre part, on sait maintenant, pour un « petit » système de quelques centaines de particules, calculer numériquement sur un ordinateur les moyennes (1) et (2), et on les trouve effectivement égales à la précision des calculs près ; en un certain sens, ces calculs sur ordinateur constituent une « démonstration » de l'ergodicité.

Certains auteurs adoptent un point de vue selon lequel la mécanique statistique n'a pas besoin de se poser le problème ergodique. Ils disent que, puisqu'on ignore l'état microscopique exact du système étudié, la mécanique statistique est nécessairement une science probabiliste et elle doit se fonder sur une hypothèse a priori concernant les probabilités des différents états microscopiques compatibles avec ce qu'on sait du système. Soit un système isolé en équilibre, dont l'énergie E est [...]

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Pour citer l’article

Berni J. ALDER, Bernard JANCOVICI, « STATISTIQUE MÉCANIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/mecanique-statistique/