STATISTIQUE MÉCANIQUE

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Fondements

Moyennes temporelles, problème ergodique, ensemble microcanonique

On part de la mécanique microscopique à laquelle obéissent les particules constitutives du système qu'on veut étudier. En principe, c'est la mécanique quantique, et elle engendrera une mécanique statistique quantique. En fait, la mécanique classique est souvent une approximation suffisante (par exemple, pour décrire les mouvements de translation, dans la plupart des cas, des molécules d'un fluide) ; une description classique au niveau microscopique sera la base de la mécanique statistique classique. Celle-ci peut être obtenue à partir de la mécanique statistique quantique en faisant tendre la constante de Planck h vers zéro.

Bornons-nous pour l'instant au cadre classique. On définit un état microscopique du système auquel on s'intéresse par la donnée de M coordonnées qi et de M moments conjugués pi ; par exemple, pour un système formé de N molécules, dans le cas où la structure interne de ces molécules peut être négligée, les qi sont les 3 N composantes cartésiennes des positions des molécules, les pi étant les 3 N composantes cartésiennes de leurs quantités de mouvement. Un état microscopique peut donc être représenté par un point de coordonnées q1, q2, ..., qM ; p1, p2, ..., pM dans un espace abstrait à 2 M dimensions, qu'on appelle l'espace des phases. Au cours du temps, le point représentatif évolue et décrit une trajectoire dans l'espace des phases.

Une variable dynamique est une fonction A(q1, ..., qM ; p1, ..., pM), qui dépend implicitement du temps, par l'intermédiaire des pi et des qi (son évolution au cours du temps est régie par les équations de Hamilton ; cf. mécanique analytique). Une mesure de A dans un système en équilibre s'effectue toujours pendant un temps τ, qui est très long à l'échelle des mouvements microscopiques. C'est donc une moyenne temporelle de A sur un temps « infini » que l'on observe :

Par exemple, la pression d'un fluide s'obtient en prenant la moyenne temporelle de la résultante des forces que les molécules exercent sur un élément de paroi.

Si le système est is [...]


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Pour citer l’article

Berni J. ALDER, Bernard JANCOVICI, « STATISTIQUE MÉCANIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/mecanique-statistique/