WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)

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Calcul des variations

Le problème fondamental du calcul des variations consiste à chercher, parmi les fonctions y = f (x) continûment dérivables sur un intervalle donné [ab] et pour lesquelles les fonctions (a) et (b) sont des valeurs données, celles qui rendent maximum ou minimum l'intégrale :

  où F est une fonction continue donnée de trois variables x, y et z.

Pour que f réponde à la question, une condition nécessaire est l'équation différentielle due à L. Euler et à L. de Lagrange :

Mais cette condition n'est pas à elle seule suffisante, pas plus que ′(a) = 0 ne suffit pour que f soit maximum ou minimum au point a ; il faut y ajouter une inégalité jouant le même rôle que le signe de ″(a). Cette recherche délicate, commencée par A. M. Legendre, fut poursuivie par Weierstrass, puis par D. Hilbert en 1900.

Il s'intéressa aussi à divers problèmes de calcul des variations, en particulier au problème des surfaces minima : Trouver la surface d'aire minimum limitée par une courbe fermée donnée dans l'espace. En 1866, il consacra plusieurs articles à la représentation paramétrique suivante des surfaces minima :

f, g et h sont trois fonctions holomorphes de la variable complexe u + iv, liées par :

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Pour citer l’article

Michel HERVÉ, « WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM - (1815-1897) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/karl-theodor-wilhelm-weierstrass/