WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)

Calcul des variations

Le problème fondamental du calcul des variations consiste à chercher, parmi les fonctions y = f (x) continûment dérivables sur un intervalle donné[a, b]et pour lesquelles les fonctions f (a) et f (b) sont des valeurs données, celles qui rendent maximum ou minimum l'intégrale :

où F est une fonction continue donnée de trois variables x, y et z.

Pour que f réponde à la question, une condition nécessaire est l'équation différentielle due à L. Euler et à L. de Lagrange :

Mais cette condition n'est pas à elle seule suffisante, pas plus que f ′(a) = 0 ne suffit pour que f soit maximum ou minimum au point a ; il faut y ajouter une inégalité jouant le même rôle que le signe de f ″(a). Cette recherche délicate, commencée par A. M. Legendre, fut poursuivie par Weierstrass, puis par D. Hilbert en 1900.

Il s'intéressa aussi à divers problèmes de calcul des variations, en particulier au problème des surfaces minima : Trouver la surface d'aire minimum limitée par une courbe fermée donnée dans l'espace. En 1866, il consacra plusieurs articles à la représentation paramétrique suivante des surfaces minima :

où f, g et h sont trois fonctions holomorphes de la variable complexe u + iv, liées par :

— Michel HERVÉ

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Écrit par

Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI

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Pour citer cet article

Michel HERVÉ. WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897) [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

HERVÉ, M.. WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897). Encyclopædia Universalis. (consulté le )

HERVÉ, Michel. « WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897) ». Encyclopædia Universalis. Consulté le .

HERVÉ, Michel. « WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897) ». Encyclopædia Universalis [en ligne], (consulté le )

Autres références

ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 8 527 mots
...fonctions symétriques x₁ + x₂ et x₁x₂ comme fonctions analytiques des deux variables complexes u₁, u₂, ces fonctions étant quadruplement périodiques. Weierstrass et Riemann menèrent à bien la solution du problème général, qui introduit un invariant algébrique fondamental, l'entier p dit «...
GAMMA FONCTION
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 1 580 mots
- 2 médias
...constante d'Euler γ ∼ 0,577 2) lorsque n tend vers l'infini. Divisant chacun des termes du produit (x + 1)...(x + n) par l'entier correspondant pris dans n !, on a donc :
puisque le produit infini est convergent ; ce développement en produit infini a été obtenu parWeierstrass.
HILBERT DAVID (1862-1943)
- Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
- 14 726 mots
- 1 média
...fonctions continues u prenant la valeur aux limites f, celle pour laquelle l'intégrale (dans le cas de deux variables) :
est minimum. En 1869, K. Weierstrass avait soulevé le problème de l'existence de cette solution et H. A. Schwarz, C. Neumann, puis H. Poincaré trouvèrent dans certains cas...
INFINI, mathématiques
- Écrit par Jean Toussaint DESANTI
- 10 372 mots
...séries de Fourier. Depuis longtemps déjà, l'infini mathématique avait cessé d'être une source d'inquiétudes métaphysiques : A. Cauchy, B. Bolzano et K. Weierstrass l'avaient pour ainsi dire réduit à l'état domestique. Le pas décisif avait été accompli ici par Weierstrass. En arithmétisant (pour les besoins...
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