INTERACTIONS (physique) Électromagnétisme

L'électromagnétisme en relativité et en mécanique quantique

Invariance relativiste

Lorsque Maxwell proposa ses équations fondamentales (1873), il apparut qu'elles ne satisfaisaient pas au principe de relativité tel que l'entendait Galilée (1632) : ces équations deviennent méconnaissables si on les soumet à la transformation de Galilée x' = x – ut, y' = y, z' = z, formules régissant le changement de référentiel en mécanique classique (x, y, z : coordonnées du point courant dans un référentiel R ; x', y' z' : coordonnées du même point dans un autre référentiel se déplaçant par rapport à R à la vitesse u dirigée selon Ox).

La théorie de la relativité d'Einstein substitue la transformation de Lorentz à celle de Galilée : x' = (x – ut)/(1 – –u²/c²)^1/2, y' = y, z' = z, t' = (t – ux/c²)/(1 – –u²/c²)^1/2. Henri Poincaré (1854-1912) démontra l'« invariance » des équations de Maxwell dans cette transformation.

Voilà un véritable exploit technique : il s'agissait de remplacer, dans les fonctions et opérateurs différentiels que mettent en jeu les équations de Maxwell, les variables x, y, z, t par l'expression qu'en donne la transformation de Lorentz en termes de x', y', z', t' ; il s'agissait ensuite, en regroupant intelligemment les divers éléments, de retrouver des égalités de même forme que les équations originelles, mais avec x', y', z', t'. La démonstration d'Henri Poincaré acquit en physique une dimension véritablement prophétique.

Électromagnétisme et mécanique quantique

L'électromagnétisme classique se décrit en termes des champs électriques E et magnétique B, satisfaisant aux équations de Maxwell. Lorsqu'on aborde la mécanique quantique, il s'avère que l'électromagnétisme ne peut pas y être introduit à travers les champs. Il y faut un pas de plus, qui apporte les « jauges » dont voici l'introduction.

Deux d'entre les équations de Maxwell, celles qui ne comportent ni ρ, ni j, sont identiquement vérifiées si l'on exprime E et B à l'aide de potentiels, scalaire V et vecteur A : B = rot A obéit à div B = 0 pour tout A ; E = – grad V – ∂A/∂t satisfait à rot E = – ∂B/∂t pour tout V. On peut donc remplacer la donnée des champs (E, B) par une « jauge » (V, A) – ces grandeurs dépendent toutes des variables x, y, z, t.

Mais cette substitution souffre d'une complication essentielle. Si la connaissance d'une jauge (V, A) détermine de façon univoque – par les formules ci-dessus – les champs (E, B), l'inverse n'est pas vrai : à un même couple de champs (E, B) peuvent être associées une infinité de jauges ; plus précisément, les jauges (V₁, A₁) et (V₂, A₂) s'équivalent, c'est-à-dire aboutissent aux mêmes champs (E, B) si, et seulement si, il existe une « fonction de jauge » χ(x, y, z ; t) qui les relie par la « transformation de jauge » A₂ = A₁ + grad χ, V₂ = V₁ – ∂χ/∂t.

Surgit dès lors, cruciale, la question de l'« invariance de jauge » : la physique reste-t-elle la même si l'on change la jauge pour une autre, équivalente ? Une réponse affirmative ne fait aucun doute en mécanique newtonienne : à mêmes champs, même force de Lorentz (paragr. 2.1) F = q(E + v ∧ B). La mécanique quantique est autrement plus subtile. Dans l'équation de Schrödinger décrivant une particule de masse m et de charge q en présence d'un champ électromagnétique, l'opérateur hamiltonien s'écrit H = (–iℏ∂∇ – qA)²/2m + qV – si l'on choisit la jauge (V, A) pour représenter le champ. Maintenant, si l'on connaît une solution ψ₁(x, y, z ; t) de l'équation de Schrödinger iℏ∂ψ₁/∂t = H₁ψ₁construite[...]

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Écrit par

Bernard DIU : professeur émérite à l'université de Paris-VII-Denis-Diderot

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Classification

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Médias

James Maxwell

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Loi d'Ohm

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Lignes de champ magnétique

J. R. Eyerman/ The LIFE Picture Collection/ Getty Images

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Autres références

INTERACTION (physique)
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Dans la nature, les objets sont soumis à toutes sortes de forces qui s'exercent à distance. Ainsi, par exemple, deux masses s'attirent, deux charges électriques s'attirent ou se repoussent suivant leur signe. Les objets ont une action l'un sur l'autre : ils interagissent. La conception classique de...
AXION
- Écrit par Bernard PIRE
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...théorie, la chromodynamique quantique (QCD, pour Quantum ChromoDynamics), construite au début des années 1970 pour rendre compte des manifestations de l’interaction forte liant quarks et gluons comme éléments fondamentaux de la matière nucléaire. Pour suivre le raisonnement des physiciens théoriciens,...
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Dans un atome isolé, les électrons se répartissent, en obéissant au principe de Pauli, entre des niveaux d'énergie bien déterminés, pratiquement sans largeur. Quand on rapproche par la pensée N atomes (avec N ∼ 10²³) pour construire un solide et qu'on oublie l'interaction entre...
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Entité décrite par l'ensemble des valeurs d'une grandeur physique, en général à plusieurs composantes, en tous les points de l'espace. D'ordinaire, le champ dépend aussi du temps (évolution du champ). On appelle couramment « champ en un point et au temps t » la valeur...
CHAMPS THÉORIE DES
- Écrit par Bernard PIRE
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...électromagnétiques y est finie ; dans le vide, elle est égale à la célérité de la lumière. Toute action instantanée à distance y apparaît impossible, l'action d'une particule chargée sur une autre étant décomposée en trois processus : rayonnement d'un champ par une source, propagation de ce champ dans...
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