SPECTRALE THÉORIE

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

L'objet de la théorie spectrale est d'obtenir, pour certains endomorphismes d'un espace hilbertien, des formes réduites analogues aux formes canoniques de Jordan pour les endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie et aux formes diagonales pour les endomorphismes hermitiens d'un espace vectoriel hermitien de dimension finie. La théorie des applications de Hilbert-Schmidt, rencontrées pour la première fois à propos des équations intégrales, permet de construire une première généralisation des résultats obtenus en dimension finie. En fait, le cadre naturel de cette généralisation est celui des applications compactes, étudiées par F. Riesz.

Néanmoins, le cas des endomorphismes les plus généraux échappe à ce cadre ; il fait l'objet de la théorie spectrale de Hilbert, qui utilise les techniques de l'intégration. On a axiomatisé la théorie spectrale, grâce aux concepts généraux de C*-algèbre et d'algèbre hilbertienne.

Théorie spectrale algébrique

Tant en algèbre qu'en analyse, on est fréquemment amené à définir et à calculer des fonctions d'un endomorphisme u d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K (inverse, puissances, exponentielle, etc.). À cet effet, il est utile de chercher les droites de E stables par u. On est ainsi conduit aux notions de valeur propre et de vecteur propre. On dit qu'un élément non nul x de E est un vecteur propre de u si la droite engendrée par x est stable par u, c'est-à-dire s'il existe un élément λ de K tel que u(x) = λx. On dit qu'un scalaire λ est une valeur propre de u si le noyau de u − λIE est non réduit à {0}. L'ensemble des valeurs propres de u s'appelle spectre ponctuel de u et se note sp (u).

Même lorsque E est de dimension finie et que K est algébriquement clos, il peut arriver que E ne soit pas somme directe de droites stables par u. C'est le cas par exemple lorsque u est un endomorphisme nilpotent non nul de E. On voit apparaître l'intérêt de la notion d'endomorphisme diagonalisable : on appelle ainsi un endomorphisme u d [...]

1 2 3 4 5

pour nos abonnés,
l’article se compose de 8 pages




Écrit par :

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

Classification


Autres références

«  SPECTRALE THÉORIE  » est également traité dans :

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « Théorie spectrale et analyse fonctionnelle »  : […] On sait qu'un problème célèbre de mécanique consiste à déterminer les « petites oscillations » au voisinage d'une position d'équilibre d'un système formé d'un nombre fini de solides, donc « à un nombre fini de degrés de liberté » (ce qui signifie que l'état du système est entièrement connu par la donnée d'un nombre fini de paramètres réels q j (1 ≤ […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_29226

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Analyse mathématique »  : […] À la fin du xix e  siècle, deux problèmes, d'origine physique, étaient au cœur des préoccupations des analystes : le problème de Dirichlet (cf. équations intégrales , chap. 1, et théorie du potentiel ) et l'étude des oscillations d'un corps élastique (c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_29226

ORTHOGONAUX POLYNÔMES

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 2 380 mots

Dans le chapitre « Équation intégrale de Fredholm »  : […] Soit E un ensemble muni d'une mesure positive μ et k une fonction de carré intégrable sur E × E. Pour toute fonction f de carré intégrable sur E et pour presque tout élément x de E, la fonction  k  ( x y )  f  ( […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes-orthogonaux/#i_29226

STONE MARSHALL HARVEY (1903-1989)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 289 mots

Après ses études à l'université Harvard, Marshall Harvey Stone enseigna dans diverses universités : Columbia (1925-1927), Yale (1931-1933), Harvard (1927-1931, puis 1933-1946) et Chicago (depuis 1944). Il fut élu membre de la National Academy of Sciences en 1938 et président de l'American Mathematical Society (1944-1945) et de l'Union mathématique internationale (1952-1954). Les premiers travaux d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/marshall-harvey-stone/#i_29226

Voir aussi

Pour citer l’article

Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT, « SPECTRALE THÉORIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-spectrale/