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SPECTRALE THÉORIE

L'objet de la théorie spectrale est d'obtenir, pour certains endomorphismes d'un espace hilbertien, des formes réduites analogues aux formes canoniques de Jordan pour les endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie et aux formes diagonales pour les endomorphismes hermitiens d'un espace vectoriel hermitien de dimension finie. La théorie des applications de Hilbert-Schmidt, rencontrées pour la première fois à propos des équations intégrales, permet de construire une première généralisation des résultats obtenus en dimension finie. En fait, le cadre naturel de cette généralisation est celui des applications compactes, étudiées par F. Riesz.

Néanmoins, le cas des endomorphismes les plus généraux échappe à ce cadre ; il fait l'objet de la théorie spectrale de Hilbert, qui utilise les techniques de l'intégration. On a axiomatisé la théorie spectrale, grâce aux concepts généraux de C*-algèbre et d'algèbre hilbertienne.

Théorie spectrale algébrique

Tant en algèbre qu'en analyse, on est fréquemment amené à définir et à calculer des fonctions d'un endomorphisme u d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K (inverse, puissances, exponentielle, etc.). À cet effet, il est utile de chercher les droites de E stables par u. On est ainsi conduit aux notions de valeur propre et de vecteur propre. On dit qu'un élément non nul x de E est un vecteur propre de u si la droite engendrée par x est stable par u, c'est-à-dire s'il existe un élément λ de K tel que u(x) = λx. On dit qu'un scalaire λ est une valeur propre de u si le noyau de u − λIE est non réduit à {0}. L'ensemble des valeurs propres de u s'appelle spectre ponctuel de u et se note sp (u).

Même lorsque E est de dimension finie et que K est algébriquement clos, il peut arriver que E ne soit pas somme directe de droites stables par u. C'est le cas par exemple lorsque u est un endomorphisme nilpotent non nul de E. On voit apparaître l'intérêt de la notion d' endomorphisme diagonalisable : on appelle ainsi un endomorphisme u de E tel que E soit somme directe de droites stables par u, ou encore tel qu'il existe une base de E constituée de vecteurs propres de u. Lorsque E est de dimension finie, cela revient à dire qu'il existe une base de E telle que la matrice associée à u dans cette base soit diagonale. Il peut arriver que plusieurs droites stables correspondent à une même valeur propre.

C'est pour cela que, pour toute valeur propre λ de u, on introduit le sous-espace propre associé à λ, à savoir le noyau de u − λIE. La somme des sous-espaces propres de u est toujours directe ; pour que u soit diagonalisable, il faut et il suffit que cette somme soit égale à E.

Dans le cas où u n'est pas diagonalisable, il convient d'introduire des sous-espaces vectoriels de E stables par u « plus gros » que les sous-espaces propres : on appelle sous-espace spectral de u associé à une valeur propre λ de u le sous-espace vectoriel Fλ réunion des sous-espaces vectoriels :

r ∈ N. Si la suite (Eλ,r) est stationnaire, on dit que λ est l'indice fini. Le plus petit des entiers r tels que Eλ,r = Fλ s'appelle alors indice de λ et se note n(λ). Lorsque Fλ est de dimension finie, on dit que λ est de multiplicité finie ; la dimension de Fλ s'appelle alors multiplicité de la valeur propre λ. La somme des sous-espaces spectraux de u est toujours directe ; on dit que u est trigonalisable si cette somme est égale à E.

Lorsque E est de dimension finie, le spectre de u est fini ; il est constitué des scalaires λ tels que :

c'est-à-dire des racines du polynôme det (XIE − u), appelé polynôme caractéristique de u. De plus, toute valeur propre λ de u est de multiplicité finie et égale à la multiplicité de la racine[...]

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Écrit par

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 8 527 mots
    On sait qu'un problème célèbre de mécanique consiste à déterminer les « petites oscillations » au voisinage d'une position d'équilibre d'un système formé d'un nombre fini de solides, donc « à un nombre fini de degrés de liberté » (ce qui signifie que l'état du système est entièrement connu par la donnée...
  • HILBERT DAVID (1862-1943)

    • Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
    • 14 726 mots
    • 1 média
    ...nos jours, d'espace complet, et donne sa signification pour les propriétés du spectre. En résumé, Hilbert pose les premières bases de la théorie spectrale (cf. théorie spectrale). L'application de ces résultats aux équations intégrales non seulement apporta de nouvelles démonstrations à des théorèmes...
  • ORTHOGONAUX POLYNÔMES

    • Écrit par Jean-Louis OVAERT
    • 2 255 mots
    ...lorsque, pour tout couple (x, y) d'éléments de E, k(y, x) = k(x, y), alors l'endomorphisme compact Uk est hermitien. La théorie spectrale montre que l'ensemble sp(Uk) des valeurs propres de Uk est une partie bornée dénombrable de R, dont tous les points, sauf peut-être 0,...
  • STONE MARSHALL HARVEY (1903-1989)

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 289 mots

    Après ses études à l'université Harvard, Marshall Harvey Stone enseigna dans diverses universités : Columbia (1925-1927), Yale (1931-1933), Harvard (1927-1931, puis 1933-1946) et Chicago (depuis 1944). Il fut élu membre de la National Academy of Sciences en 1938 et président de l'American Mathematical...

Voir aussi