FORMALISME

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Formalisme et logicisme

C'est au xixe siècle que se constitue véritablement la formalisation mathématique. Mais on peut dire schématiquement que sa genèse est partagée. D'un côté, elle procède du développement de l'algèbre abstraite et de l'extension de la notion de calcul dans le cadre d'une conception formaliste des mathématiques. De l'autre, elle devient le moyen nécessaire à l'analyse des concepts fondamentaux des mathématiques dans le cadre d'une philosophie logiciste.

La formalisation du calcul algébrique

Aux yeux des algébristes anglais (comme Peacock, De Morgan, Hamilton) et allemands (Grassmann, Hankel) du milieu du xixe siècle, la permanence du concept de nombre à travers ses extensions successives, qui n'est ni celle d'une représentation concrète, ni celle d'une évidence intellectuelle, est celle d'un symbolisme : le calcul sur les nombres complexes, sous réserve de définitions convenables des opérations algébriques, peut en effet s'écrire de la même façon que le calcul sur les entiers, les rationnels et les réels. Il obéit aux mêmes règles opératoires de commutativité, d'associativité et de distributivité. Un système de « nombres » n'est donc pas autre chose qu'un système d'objets pour lesquels ces règles opératoires sont valides. Le concept de nombre, le concept des règles du calcul est en un sens un concept purement « logique ». Il est important de noter que la « logique » ou « algèbre » de Boole représente précisément une extension de ce type. Or, on sait aujourd'hui qu'elle s'applique aussi bien au calcul des propositions qu'aux structures de réseaux électriques (ce qui en a fait un instrument privilégié de l'informatique).

Le point de vue qui s'exprime dans l'idée de calcul formel réduit par là le « sens » des concepts traditionnels aux règles de leur usage, et le distingue nettement d'une interprétation ou d'une représentation, réduites au statut d'« exemplification » et d'application. La mathémat [...]

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Pour citer l’article

Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY, « FORMALISME », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 juin 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/formalisme/