FORMALISME

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La notion de système formel

La notion de système formel résulte finalement de la combinaison des deux courants, logiciste et formaliste, et peut être utilisée à titre de concept mathématique, de façon relativement indépendante des intentions philosophiques initiales.

On définit un système formel (ou théorie formalisée) en donnant une série de conditions.

La langue formalisée

1. On désigne explicitement un ensemble fini ou dénombrable de symboles, répartis selon leur usage en constantes, variables, symboles logiques, symboles de relations, symboles impropres (ponctuation, par exemple, dont l'usage pourrait être évité au moyen de conventions d'écriture). Une suite finie de symboles est appelée une expression du système. 2. On définit un sous-ensemble d'expressions du système, qu'on appelle les expressions correctement formées, ou formules du système. Intuitivement – mais la référence à l'intuition est étrangère à la problématique du logicien –, ces formules sont celles qui, dans une interprétation du système (en vue de laquelle il peut avoir été construit), ont une signification intelligible, représentant soit l'énoncé d'une relation, soit celui d'une proposition (qui peut être vraie ou fausse en logique « binaire », ou plus généralement prendre une « valeur de vérité » déterminée. C'est Wittgenstein qui, en définissant les « tables de vérité » du calcul des propositions, a ouvert la possibilité de déterminer axiomatiquement les valeurs de vérité).

Dans le cas général, il n'est pas possible d'énumérer effectivement toutes les formules, qui sont en nombre infini. On en donne une définition récursive, en énonçant des règles de formation dont l'application réitérée engendre les formules. Le plus souvent il existe alors un procédé purement mécanique permettant de décider effectivement si une expression donnée est une formule du système.

La démonstration formalisée

3. On définit un sous-ensemble de formules qu'on appelle les axiomes du système. Le plus souvent, on peut décider effectivement si une formule donnée est un axiome, et on par [...]

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Pour citer l’article

Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY, « FORMALISME », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/formalisme/