FONCTIONS ANALYTIQUESReprésentation conforme

La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de Mercator (xvi^e siècle). Au début du xix^e siècle, Carl Friedrich Gauss étudia systématiquement les propriétés intrinsèques des surfaces de l'espace habituel ; en particulier, il examina les applications bijectives d'une surface sur une autre qui sont différentiables, ainsi que leur réciproque, et qui conservent les angles. La notion de représentation conforme reçut un nouvel éclairage avec l'avènement de la théorie des fonctions d'une variable complexe, à laquelle elle est intimement liée. Bernhard Riemann sut exploiter cette relation de façon particulièrement féconde, introduisant la notion de surface de Riemann, qui résout les difficultés dues aux « fonctions multiformes » et donne un cadre convenable à la théorie du prolongement analytique. Cette théorie pose un certain nombre de problèmes topologiques qui ont conduit Bernhard Riemann et Henri Poincaré à développer les premières bases de la topologie algébrique.

Définition

La représentation conforme

Considérons un domaine D du plan R². On dit qu'une application différentiable f de D dans R² est conforme en un point z₀ de D si sa dérivée (ou application linéaire tangente) D¹ f (z₀) en z₀ conserve les angles orientés (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables). En convenant que l'angle en z₀ de deux chemins différentiables γ₁ et γ₂ passant par z₀ est l'angle de leurs tangentes en z₀, on voit que cette condition revient à la suivante : l'angle orienté en f (z₀) des chemins images f ∘ γ₁ et f ∘ γ₂ est égal à l'angle orienté de γ₁ et γ₂ en z₀, quels que soient les chemins γ₁ et γ₂ différentiables passant par z₀.

On sait qu'une application linéaire du plan dans lui-même, qui conserve les angles orientés est une similitude directe de centre O. Ainsi, la conformité de f en z₀ signifie que l'application linéaire tangente D¹f (z₀) est une similitude directe. Il est très commode de représenter les similitudes à l'aide de la multiplication des nombres complexes. Dans la suite, on considérera que le plan est le corps des nombres complexes C, et l'on écrira x + iy pour le point (x, y) du plan (cf. nombrescomplexes) ; une similitude directe de centre O est alors une application de la forme z ↦ az, où a est un nombre complexe non nul dont le module et l'argument sont respectivement le rapport et l'angle de la similitude ; dans la base canonique (1, i) de C sur R, la matrice de la similitude considérée s'écrit :

où α est la partie réelle de a, et β sa partie imaginaire.

Dire que f est conforme en z₀ revient donc à dire que sa dérivée est de la forme h ↦ ah, avec a ∈ C, a ≠ 0 ; par conséquent, le rapport :

tend vers 0 avec h, ou encore f est dérivable au sens complexe en z₀, avec comme dérivée, f ′(z₀) = a ≠ 0 (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 2). En termes réels, on doit écrire que la matrice jacobienne de f = P + iQ, soit :est de la forme :ce qui donne les conditions de Cauchy-Riemann :

Ainsi toute fonction holomorphe f dans D, dont la dérivée ne s'annule pas, est conforme en tout point de D. Or on peut montrer que l'image d'une partie ouverte de C par une fonction holomorphe non constante est ouverte ; l'image du domaine D par une fonction holomorphe non constante f est donc un domaine f (D). De plus, si f est injective (on dit quelquefois univalente), sa dérivée ne s'annule pas ; f définit une bijection de D sur f (D) dont l'application réciproque est holomorphe dans f (D) ; f est alors une représentation conforme de D sur f (D). Les domaines D et f (D) sont dits conformément équivalents, ou encore isomorphes ; en ce qui concerne la théorie des fonctions analytiques, ils ont les mêmes propriétés, car l'application : g ↦ g∘f est une bijection de l'ensemble des fonctions holomorphes dans f (D) sur l'ensemble des fonctions holomorphes dans D. Enfin, si g est une représentation conforme de f (D) sur un nouveau domaine D′, la composée g∘f est une représentation conforme de D sur D′.

Exemples de rep [...]

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