FONCTIONS ANALYTIQUESReprésentation conforme

La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de Mercator (xvi^e siècle). Au début du xix^e siècle, Carl Friedrich Gauss étudia systématiquement les propriétés intrinsèques des surfaces de l'espace habituel ; en particulier, il examina les applications bijectives d'une surface sur une autre qui sont différentiables, ainsi que leur réciproque, et qui conservent les angles. La notion de représentation conforme reçut un nouvel éclairage avec l'avènement de la théorie des fonctions d'une variable complexe, à laquelle elle est intimement liée. Bernhard Riemann sut exploiter cette relation de façon particulièrement féconde, introduisant la notion de surface de Riemann, qui résout les difficultés dues aux « fonctions multiformes » et donne un cadre convenable à la théorie du prolongement analytique. Cette théorie pose un certain nombre de problèmes topologiques qui ont conduit Bernhard Riemann et Henri Poincaré à développer les premières bases de la topologie algébrique.

Définition

La représentation conforme

Considérons un domaine D du plan R². On dit qu'une application différentiable f de D dans R² est conforme en un point z₀ de D si sa dérivée (ou application linéaire tangente) D¹ f (z₀) en z₀ conserve les angles orientés (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables). En convenant que l'angle en z₀ de deux chemins différentiables γ₁ et γ₂ passant par z₀ est l'angle de leurs tangentes en z₀, on voit que cette condition revient à la suivante : l'angle orienté en f (z₀) des chemins images f ∘ γ₁ et f ∘ γ₂ est égal à l'angle orienté de γ₁ et γ₂ en z₀, quels que soient les chemins γ₁ et γ₂ différentiables passant par z₀.

Conservation des angles

Dessin

Conservation des angles 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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