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Surfaces de Riemann

Projection stéréographique et sphère de Riemann

Considérons la sphère S2 de centre O et de rayon 1 dans l'espace R3 (où les coordonnées sont notées x, y, ). La projection stéréographique de pôle (0, 0, 1) sur le plan t = 0 est l'application qui, à chaque point (x, y, ) de la sphère distinct de (0, 0, 1), associe le point où la droite joignant (0, 0, 1) à (x, y, ) rencontre le plan t = 0.

Projection stéréographique

Dessin : Projection stéréographique

Dessin

Projection stéréographique 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Ainsi, l'image de (x, y, ) est le point :

soit :
avec la notation complexe. Il est facile de montrer que cette application conserve les angles (c'est-à-dire que l'application linéaire tangente possède cette propriété). C'est une représentation conforme de la sphère privée du pôle (0, 0, 1) sur le plan C.

On peut aussi considérer la projection stéréographique de pôle (0, 0, − 1), qui s'écrit :

et représente conformément la sphère privée de (0, 0, − 1) sur C. Il n'a pas été tenu compte des questions d'orientation et un même angle orienté sur la sphère est transformé en des angles opposés par les deux projections ; ce défaut se corrige en composant la deuxième projection avec la symétrie d'axe réel, ce qui donne la représentation conforme :
de la sphère privée de (0, 0, − 1) sur C. Si z et z′ sont les images d'un même point (x, y, ) distinct de (0, 0, 1) et de (0, 0, − 1) par nos deux représentations, alors :

ainsi on passe de l'une à l'autre par la transformation ↦ 1/z.

Si D est une partie ouverte de la sphère, la première projection stéréographique identifie D privé éventuellement du pôle (0, 0, 1) à un ouvert D′ de C, tandis que la seconde projection identifie D privé éventuellement de (0, 0, − 1) à un autre ouvert D″ du plan. On dira qu'une fonction numérique complexe f définie dans D est holomorphe si les fonctions correspondantes dans D′ et D″ sont holomorphes ; cette définition est cohérente parce que la transformation ↦ 1/z est un isomorphisme de D′ privé éventuellement de l'origine sur D″ privé éventuellement de l'origine. Avec cette notion de fonction holomorphe, la sphère S2 s'appelle sphère de Riemann. Le plan s'identifie par la projection stéréog [...]

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Conservation des angles

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Représentation z ↦ z2

Représentation z ↦ z2
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Représentation z ↦ z1/2

Représentation z ↦ z1/2
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Représentation z ↦1/ z

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  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-representation-conforme/