FONCTIONS ANALYTIQUESReprésentation conforme

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Le problème de la représentation conforme

Étant donné des domaines D et D′ du plan, sont-ils conformément équivalents ? Dans l'affirmative, il s'agira de construire, au moins d'une manière approchée, une représentation conforme de D sur D′. Ce problème a des applications en diverses questions de physique (par exemple en hydrodynamique), car il permet de résoudre certains problèmes de Dirichlet : pour trouver une fonction harmonique u, connaissant une courbe u = a (constante, qui est la frontière d'un domaine D conformément équivalent au demi-plan supérieur, on utilise une représentation conforme f de D sur le demi-plan supérieur ; si f se prolonge par continuité à la frontière de D et transforme cette frontière en celle du demi-plan, soit la droite Im z = 0, la solution est u = Im (f + a).

Si les domaines D et D′ sont conformément équivalents, ils sont homéomorphes, c'est-à-dire qu'il existe une bijection continue de D sur D′ dont la réciproque est aussi continue. Ainsi est réalisée une condition nécessaire d'isomorphisme ; mais cette condition n'est pas suffisante, car le plan C et le disque unité sont homéomorphes (l'application ↦ z/(1 + |z|) est un homéomorphisme du premier sur le second), mais certainement pas isomorphes, puisque la fonction ↦ z est holomorphe et bornée dans le disque unité, alors que toute fonction holomorphe et bornée dans C est constante d'après le théorème de Liouville (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe).

D'ailleurs, comme on l'a vu ci-dessus, une grande variété de domaines sont conformément équivalents au disque unité : le demi-plan, un secteur angulaire, une bande ou une demi-bande, l'extérieur d'une parabole. En fait, Riemann a obtenu (par une démonstration un peu incomplète) le remarquable résultat suivant : Tout domaine D différent du plan C et simplement connexe (c'est-à-dire que tout lacet de D peut se déformer continûment dans D en un point) est conformément équivalent au disque unité.

Ce théorème a été complètement démontré par W. F. Osgood, puis par P. Koebe, qui l'a généralisé en donnant a [...]


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  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-representation-conforme/