DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

L'équation de Laplace, ou de Poisson

Si dans l'équation des ondes on s'intéresse à des solutions stationnaires (c'est-à-dire indépendantes du temps), on tombe sur l'équation de Poisson :

Cette équation a des propriétés tout à fait analogues à celle de Laplace.

On retrouve l'équation de Laplace (à deux variables indépendantes) comme conséquence des conditions de Cauchy-Riemann. Elle est donc vérifiée par la partie réelle et la partie imaginaire pure de toute fonction analytique d'une variable complexe. Ce fait a été la source de certains problèmes de la théorie des équations aux dérivées partielles (quelles sont les propriétés des fonctions analytiques qui peuvent être généralisées ici ?). Il a aussi été la source de certaines applications dont la plus célèbre est la méthode de Joukovski (à une certaine approximation, le calcul d'un écoulement incompressible autour d'une aile se ramène à un problème de représentation conforme).

Les problèmes bien posés pour l'équation de Laplace concernent en général les solutions sur un ouvert borné Ω de Rⁿ dont nous noterons Γ la frontière. Les deux plus usuels sont :

– Le problème de Dirichlet : « Trouver u vérifiant (6) sur Ω et dont la restriction à Γ est donnée. »

– Le problème de Neumann : « Trouver u vérifiant (6) sur Ω et dont la dérivée normale sur Γ est donnée. »

À vrai dire, ce dernier n'est pas tout à fait bien posé. D'abord il n'y a pas unicité puisqu'en ajoutant à une solution une constante, on retrouve une autre solution. D'autre part, pour qu'il y ait existence, les données doivent vérifier une condition que nous allons trouver en utilisant l'outil fondamental pour ce genre de questions, la formule de Green :

Cette condition a une interprétation très claire dans tous les cas où − grad u est le flux d'une grandeur (par exemple si − u est le potentiel des vitesses d'un liquide animé d'un mouvement irrotationnel ; ou si on est dans le cas stationnaire de l'équation de la chaleur, u est alors la densité d'énergie interne et − grad u, moyennant un choix d'unités, son flux). Dans cette situation, le premier membre de (7) est la quantité de la grandeur en question créée à l'intérieur de Ω et le second membre la quantité qui sort à travers la frontière.

On rencontre très souvent des problèmes mêlés, c'est-à-dire où on donne u sur une partie de la frontière et sa dérivée normale sur le reste. Ces problèmes sont bien posés. Une série de problèmes généralisent celui de Neumann (condition de Newton, dérivées obliques...).

Les solutions des équations de Poisson et de Laplace et des équations analogues possèdent de multiples propriétés : elles sont analytiques, ne peuvent pas avoir de maximum ni de minimum à l'intérieur d'un domaine où l'équation est vérifiée. On appelle fonctions harmoniques les fonctions qui vérifient l'équation de Laplace.

Applications à la topologie

Considérons une variété compacte V et munissons-la d'une métrique riemannienne, comme il est possible de le faire. On sait que cette métrique riemannienne induit pour tout k un produit scalaire sur l'espace vectoriel ∧_k des champs de formes extérieures de degré[...]