DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

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Le type elliptique

L'équation de Laplace, ou de Poisson

Si dans l'équation des ondes on s'intéresse à des solutions stationnaires (c'est-à-dire indépendantes du temps), on tombe sur l'équation de Poisson :

plus connue sous le nom d'équation de Laplace lorsque le second membre est nul, et prototype des équations elliptiques. De même, si on s'intéresse aux solutions qui ne dépendent du temps que par un facteur eiωt ou cos ω(t − t0), on voit qu'elles vérifient l'équation de Helmholtz :

Cette équation a des propriétés tout à fait analogues à celle de Laplace.

On retrouve l'équation de Laplace (à deux variables indépendantes) comme conséquence des conditions de Cauchy-Riemann. Elle est donc vérifiée par la partie réelle et la partie imaginaire pure de toute fonction analytique d'une variable complexe. Ce fait a été la source de certains problèmes de la théorie des équations aux dérivées partielles (quelles sont les propriétés des fonctions analytiques qui peuvent être généralisées ici ?). Il a aussi été la source de certaines applications dont la plus célèbre est la méthode de Joukovski (à une certaine approximation, le calcul d'un écoulement incompressible autour d'une aile se ramène à un problème de représentation conforme).

Les problèmes bien posés pour l'équation de Laplace concernent en général les solutions sur un ouvert borné Ω de Rn dont nous noterons Γ la frontière. Les deux plus usuels sont :

– Le problème de Dirichlet : « Trouver u vérifiant (6) sur Ω et dont la restriction à Γ est donnée. »

– Le problème de Neumann : « Trouver u vérifiant (6) sur Ω et dont la dérivée normale sur Γ est donnée. »

À vrai dire, ce dernier n'est pas tout à fait bien posé. D'abord il n'y a pas unicité puisqu'en ajoutant à une solution une constante, on retrouve une autre solution. D'autre part, pour qu'il y ait existence, les données doivent vérifier une condition que nous allons trouver en utilisant l'outil fondamental pour ce genre de questions, la formule de Green :

où ∂n désigne la dérivée normale sortante et dσ la mesure superficielle ; nous noton [...]

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Pour citer l’article

Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 juin 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/