DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

L'équation de la chaleur et le type parabolique

Si les équations hyperboliques décrivent l'évolution des phénomènes physiques réversibles, les phénomènes irréversibles relèvent du type parabolique dont le prototype est l'équation de la chaleur, dite aussi de Fourier :

Notons tout de suite qu'au contraire de l'équation des ondes cette équation est modifiée par le changement de t en − t.

Elle décrit la diffusion de la chaleur, mais aussi bien d'autres phénomènes de diffusion, en particulier celle d'un corps en solution.

Les problèmes bien posés typiques de l'équation de la chaleur, et des équations paraboliques en général, sont des problèmes mixtes. On donne un ouvert Ω de l'espace et on cherche une solution u sur [0, ∞[ × Ω qui  vérifie  une  condition  initiale : u(0, x) = u₀(x), u₀ fonction donnée et, à chaque instant t, une condition sur la frontière, condition de Dirichlet, ou de Neumann ou mêlée, d'autres parfois. La différence avec le cas hyperbolique est à chercher dans le comportement vis-à-vis de la variable temps. D'abord on ne donne ici que la valeur initiale de u et pas celle de sa dérivée. Ensuite, et c'est le plus important, la solution n'existe en général que dans le futur, c'est-à-dire pour les valeurs positives de t. On retrouve là l'opposition réversibilité-irréversibilité. La coexistence de données initiales et de données à la frontière d'un ouvert d'espace n'est pas essentielle : on la trouve aussi dans certains problèmes hyperboliques.

Certaines propriétés de l'équation de la chaleur la rapprochent de l'équation de Laplace. Supposons pour le moment que f = 0 (c'est-à-dire qu'il n'y a ni source ni absorption de chaleur). Les solutions sont alors  indéfiniment  différentiables  et, lorsqu'on fixe t, ce sont des fonctions analytiques de x. En particulier, la diffusion est instantanée dans ce sens que si dans un problème mixte la donnée initiale est nulle en dehors d'un voisinage d'un point, dès que t est strictement positif, il n'y a plus aucun point au voisinage duquel la solution reste nulle. Ce résultat peut aussi se déduire d'une version du principe du maximum adaptée à l'équation de la chaleur.

Nous allons établir l'équation de la chaleur par un raisonnement qui, convenablement modifié, s'étend aux autres phénomènes de diffusion. Nous prendrons pour u la densité de l'énergie interne, f est celle des sources d'énergie thermique. Nous négligeons les effets dus à la dilatation thermique, autrement nous n'arriverions pas à (15) mais à un système où figurerait cette équation et celles de l'élasticité, le tout modifié par un couplage de ces équations entre elles. Nous désignerons par v le flux d'énergie thermique. Le bilan d'énergie dans un domaine U nous donne ainsi :

où ∂U désigne la frontière de U. Nous transformons une fois de plus l'intégrale de surface en intégrale de volume par une intégration par parties ; faisons passer la dérivation par rapport au temps sous le signe d'intégration (u peut-être supposée assez régulière pour que nous en ayons le droit) et obtenons :Comme cette équation doit être vraie pour tout domaine U, on en déduit :C'est l'équation de continuité dont la validité est extrêmement générale : elle exprime simplement une loi de conservation quelconque.

Il faut maintenant une relation entre u et v. C'est la loi de diffusion proprement dite qu'on prend de la forme :

où K est a priori une matrice. Les physiciens démontrent qu'elle est symétrique. Elle est définie positive : cette propriété exprime que l'énergie thermique diffuse des régions les plus chaudes vers les plus froides et pas l'inverse. Dans un milieu isotrope, c'est simplement le produit par un nombre. Si le milieu est homogène elle ne dépend pas de x. Pour aboutir à l'équation (15) on suppose toutes ces propriétés vérifiées et on fait de plus l'hypothèse que K ne dépend pas non plus de u, ce qui est une approximation justifiée dans les situations les plus usuelles. Dans tous les cas, (16) et (17) se combinent en :Si K est le produit par un nombre constant, un choix adéquat des unités donne la forme (15).

Dans le raisonnement qui précède, on peut remplacer l'énergie interne par la concentration d'une solution sans rien changer d'autre. Des raisonnements analogues s'appliquent aux fluides circulant dans un milieu poreux. Très simples dans le cas d'un liquide saturant les pores, les équations deviennent beaucoup plus compliquées dans le cas d'un gaz ou du mélange de deux fluides.

On notera que (18) peut s'écrire :

où A a la propriété [...]

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