DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

Si les équations hyperboliques décrivent l'évolution des phénomènes physiques réversibles, les phénomènes irréversibles relèvent du type parabolique dont le prototype est l'équation de la chaleur, dite aussi de Fourier :

Notons tout de suite qu'au contraire de l'équation des ondes cette équation est modifiée par le changement de t en − t.

Elle décrit la diffusion de la chaleur, mais aussi bien d'autres phénomènes de diffusion, en particulier celle d'un corps en solution.

Les problèmes bien posés typiques de l'équation de la chaleur, et des équations paraboliques en général, sont des problèmes mixtes. On donne un ouvert Ω de l'espace et on cherche une solution u sur [0, ∞[ × Ω qui  vérifie  une  condition  initiale : u(0, x) = u₀(x), u₀ fonction donnée et, à chaque instant t, une condition sur la frontière, condition de Dirichlet, ou de Neumann ou mêlée, d'autres parfois. La différence avec le cas hyperbolique est à chercher dans le comportement vis-à-vis de la variable temps. D'abord on ne donne ici que la valeur initiale de u et pas celle de sa dérivée. Ensuite, et c'est le plus important, la solution n'existe en général que dans le futur, c'est-à-dire pour les valeurs positives de t. On retrouve là l'opposition réversibilité-irréversibilité. La coexistence de données initiales et de données à la frontière d'un ouvert d'espace n'est pas essentielle : on la trouve aussi dans certains problèmes hyperboliques.

Certaines propriétés de l'équation de la chaleur la rapprochent de l'équation de Laplace. Supposons pour le moment que f = 0 (c'est-à-dire qu'il n'y a ni source ni absorption de chaleur). Les solutions sont alors  indéfiniment  différentiables  et, lorsqu'on fixe t, ce sont des fonctions analytiques de x. En particulier, la diffusion est instantanée dans ce sens que si dans un problème mixte la donnée initiale est nulle en dehors d'un voisinage d'un point, dès que t est strictement positif, il n'y a plus aucun point au voisinage duquel la solution reste nulle. Ce résultat peut aussi se déduire d'une version du princip [...]