DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications
L'équation de la chaleur et le type parabolique
Si les équations hyperboliques décrivent l'évolution des phénomènes physiques réversibles, les phénomènes irréversibles relèvent du type parabolique dont le prototype est l'équation de la chaleur, dite aussi de Fourier :
Elle décrit la diffusion de la chaleur, mais aussi bien d'autres phénomènes de diffusion, en particulier celle d'un corps en solution.
Les problèmes bien posés typiques de l'équation de la chaleur, et des équations paraboliques en général, sont des problèmes mixtes. On donne un ouvert Ω de l'espace et on cherche une solution u sur [0, ∞[ × Ω qui vérifie une condition initiale : u(0, x) = u0(x), u0 fonction donnée et, à chaque instant t, une condition sur la frontière, condition de Dirichlet, ou de Neumann ou mêlée, d'autres parfois. La différence avec le cas hyperbolique est à chercher dans le comportement vis-à-vis de la variable temps. D'abord on ne donne ici que la valeur initiale de u et pas celle de sa dérivée. Ensuite, et c'est le plus important, la solution n'existe en général que dans le futur, c'est-à-dire pour les valeurs positives de t. On retrouve là l'opposition réversibilité-irréversibilité. La coexistence de données initiales et de données à la frontière d'un ouvert d'espace n'est pas essentielle : on la trouve aussi dans certains problèmes hyperboliques.
Certaines propriétés de l'équation de la chaleur la rapprochent de l'équation de Laplace. Supposons pour le moment que f = 0 (c'est-à-dire qu'il n'y a ni source ni absorption de chaleur). Les solutions sont alors indéfiniment différentiables et, lorsqu'on fixe t, ce sont des fonctions analytiques de x. En particulier, la diffusion est instantanée dans ce sens que si dans un problème mixte la donnée initiale est nulle en dehors d'un voisinage d'un point, dès que t est strictement positif, il n'y a plus aucun point au voisinage duquel la solution reste nulle. Ce résultat peut aussi se déduire d'une version du principe du maximum adaptée à l'équation de la chaleur.
Nous allons établir l'équation de la chaleur par un raisonnement qui, convenablement modifié, s'étend aux autres phénomènes de diffusion. Nous prendrons pour u la densité de l'énergie interne, f est celle des sources d'énergie thermique. Nous négligeons les effets dus à la dilatation thermique, autrement nous n'arriverions pas à (15) mais à un système où figurerait cette équation et celles de l'élasticité, le tout modifié par un couplage de ces équations entre elles. Nous désignerons par v le flux d'énergie thermique. Le bilan d'énergie dans un domaine U nous donne ainsi :
Il faut maintenant une relation entre u et v. C'est la loi de diffusion proprement dite qu'on prend de la forme :
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Écrit par
- Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice
Classification
. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )
Média
Équation des formes vibrantes
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Propagation des solutions et domaine de dépendance pour l'équation des cordes vibrantes : les pentes…
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Autres références
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
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Le mathématicien argentino-américain Luis Caffarelli a reçu le prix Abel – l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiques – en 2023, pour « ses contributions essentielles à la théorie des régularités des équations aux dérivées partielles non linéaires ».
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En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart... -
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Voir aussi
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