DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

Autres équations

Équations qui changent de type

L'équation de Tricomi :

est hyperbolique dans le demi-plan x₂ < 0, elliptique dans le demi-plan x₂ > 0.

En dehors de cela, le principal intérêt de l'équation de Tricomi est sa simplicité qui a permis d'en faire une étude assez détaillée. On rencontre un système présentant le même changement de type dans l'étude des écoulements stationnaires de fluides compressibles non visqueux. En admettant que l'équation d'état permet d'écrire la pression comme une fonction p de la densité, les équations du mouvement s'écrivent dans ce cas :

Les notations ont le même sens que dans l'équation (22) ; p′(ρ) est le carré de la vitesse de propagation du son dans le fluide, on voit qu'elle dépend de x par l'intermédiaire de la densité. Dans la région subsonique, c'est-à-dire celle où ∥u∥² < p′(ρ), le système est elliptique, il est hyperbolique dans la région supersonique, c'est-à-dire celle où ∥u∥² > p′(ρ).

Dans les équations et systèmes hyperboliques dont nous avons parlé jusqu'ici, la variable temps jouait un rôle privilégié ; ce rôle est tenu dans la région supersonique par le déplacement dans la direction de l'écoulement. On peut d'ailleurs dans ce cas entendre la propagation des singularités dans la région hyperbolique : c'est le « bang » de l'avion passant le mur du son.

Naturellement, c'est dans les régions comportant à la fois des parties supersoniques et des parties subsoniques que l'étude de l'écoulement est la plus délicate (régions transsoniques). L'étude de ces régions transsoniques connaît un regain d'intérêt car la hausse du prix du carburant a amené à renoncer, pour les avions de ligne du futur, aux vitesses supersoniques.

L'équation de Schrödinger

L'équation de Schrödinger :

décrit en physique quantique l'évolution de la fonction d'onde u d'une particule non relativiste de masse m soumise à un potentiel V. Elle n'est pas hyperbolique, ce qui semble mettre en défaut l'assertion selon laquelle la physique des phénomènes réversibles est décrite par des systèmes hyperboliques. Mais il ne faut pas oublier que l'équation de Schrödinger apparaît comme une approximation à faible vitesse de l'équation de Dirac qui, elle, est un système hyperbolique.

Malgré une certaine ressemblance formelle avec l'équation de la chaleur, elle n'est pas non plus parabolique ; le facteur i devant la dérivée par rapport au temps assure la réversibilité.

L'équation de Schrödinger n'appartient finalement pas à un type particulier d'équations. Malgré son importance physique, elle apparaît assez comme un cas particulier – au moins pour le moment.

Dans le même ordre d'idées, l'équation de Korteweg et de Vries et les autres équations « à solitons », dont les propriétés seront exposées dans la partie consacrée aux problèmes non linéaires, ont des caractères analogues : elles ne sont pas hyperboliques mais liées à des équations hyperboliques.

Équations générales

Occupons-nous d'abord des équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants du second ordre à trois variables indépendantes. Par un changement de variables, on peut toujours se ramener à un des trois cas suivants :

a) la partie principale (homogène d'ordre deux) de l'équation est incomplète (c'est-à-dire qu'il n'y figure pas de dérivation par rapport à une des variables) ;

b) cette partie principale est l'opérateur de Laplace, l'équation est elliptique ;

c) la partie principale est l'opérateur des ondes (à deux dimensions d'espace), l'équation est hyperbolique.

Si on passe à quatre variables indépendantes, un quatrième cas se présente, celui de l'équation :

Cette équation est appelée ultra-hyperbolique par allusion au fait qu'il y a un signe de plus que dans l'équation des ondes. Mais cette expression ne désigne pas un type comme l'hyperbolique ou le parabolique ; c'est au fond une désignation purement négative. Elle ne correspond ni à des propriétés de problèmes bien posés ou à des singularités de solutions, ni à une famille qu'on saurait caractériser sur la forme de l'équation, y compris pour les ordres supérieurs à deux.

Au demeurant, cette équation n'intervient pas dans des problèmes physiques.

En principe, la théorie de Sato, Kashiwara et Kawai doit permettre une classification des systèmes linéaires aux dérivées partielles (cf. équations aux dérivées partielles Analyse microlocale). Malheureusement, elle est d'un caractère tellement abstrait et détourné qu'on n'a encore guère vu d'application à un cas particulier non classique.

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