DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Autres équations

Équations qui changent de type

L'équation de Tricomi :

est hyperbolique dans le demi-plan x2 < 0, elliptique dans le demi-plan x2 > 0.

En dehors de cela, le principal intérêt de l'équation de Tricomi est sa simplicité qui a permis d'en faire une étude assez détaillée. On rencontre un système présentant le même changement de type dans l'étude des écoulements stationnaires de fluides compressibles non visqueux. En admettant que l'équation d'état permet d'écrire la pression comme une fonction p de la densité, les équations du mouvement s'écrivent dans ce cas :

Les notations ont le même sens que dans l'équation (22) ; p′(ρ) est le carré de la vitesse de propagation du son dans le fluide, on voit qu'elle dépend de x par l'intermédiaire de la densité. Dans la région subsonique, c'est-à-dire celle où ∥u2 < p′(ρ), le système est elliptique, il est hyperbolique dans la région supersonique, c'est-à-dire celle où ∥u2 > p′(ρ).

Dans les équations et systèmes hyperboliques dont nous avons parlé jusqu'ici, la variable temps jouait un rôle privilégié ; ce rôle est tenu dans la région supersonique par le déplacement dans la direction de l'écoulement. On peut d'ailleurs dans ce cas entendre la propagation des singularités dans la région hyperbolique : c'est le « bang » de l'avion passant le mur du son.

Naturellement, c'est dans les régions comportant à la fois des parties supersoniques et des parties subsoniques que l'étude de l'écoulement est la plus délicate (régions transsoniques). L'étude de ces régions transsoniques connaît un regain d'intérêt car la hausse du prix du carburant a amené à renoncer, pour les avions de ligne du futur, aux vitesses supersoniques.

L'équation de Schrödinger

L'équation de Schrödinger :

décrit en physique quantique l'évolution de la fonction d'onde u d'une particule non relativiste de masse m soumise à un potentiel V. Elle n'est pas hyperbolique, ce qui semble mettre en défaut l'assertion selon laquelle la physique des phénomènes réversibles est décrite par des systèmes hyperboliques. Mais il ne faut pas oublier que l'équation de Schrödinger [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 10 pages

Écrit par :

Classification

Autres références

«  DÉRIVÉES PARTIELLES ÉQUATIONS AUX  » est également traité dans :

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS, 
  • Martin ZERNER
  •  • 5 997 mots
  •  • 7 médias

Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « améliorer » l […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS
  •  • 10 860 mots
  •  • 3 médias

L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des événements que les équations linéaires ne peuvent […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
  •  • 5 498 mots

Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous allons […] Lire la suite

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
  •  • 1 580 mots
  •  • 2 médias

Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(xyz) où les coordonnées x, y et z correspondent à tous les points de l’espace occupés par le mobile traç […] Lire la suite

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « Équations différentielles et équations aux dérivées partielles »  : […] Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviii e  siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équati […] Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par 
  • René TATON
  •  • 11 508 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart des phénomènes physiques dépendent de plusieurs variables révélait l'importance de ce nouveau ty […] Lire la suite

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 403 mots

Dans le chapitre « Une production considérable »  : […] La production de Cauchy a été considérable ; même ses contemporains lui reprochaient à juste titre sa hâte inconsidérée à livrer souvent à l'impression des débauches indignes de son génie, et il y a évidemment un déchet non négligeable dans le demi-millier de notes qu'il a publiées aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Il n'en est pas moins vrai que, même en faisant abstraction de ses tr […] Lire la suite

DARBOUX GASTON (1842-1917)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 320 mots

Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale (1872-1873). Il fut maître de conférences (1873-1881), puis professeur de géométrie supérieure (1881) à la faculté des s […] Lire la suite

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
  •  • 1 488 mots

Dans le chapitre « Équations différentielles »  : […] Les équations différentielles sont des équations dont les coefficients et les variables sont eux-mêmes des fonctions, et dont les termes contiennent les dérivées de cette fonction ainsi que la fonction elle-même. Les équations différentielles ordinaires impliquent une fonction y d'une seule variable x et ses dérivées y ', y '', etc. ; l' ordre d'une telle équation est l'ordre de la plus haute […] Lire la suite

EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL, 
  • Jean ITARD
  •  • 2 813 mots

Dans le chapitre « Mathématiques »  : […] Euler est l'auteur de trois grands traités didactiques sur l'analyse infinitésimale, dans lesquels il a exposé sa conception nouvelle du calcul différentiel et intégral et ses rapports avec la géométrie : l' Introductio in analysin infinitorum (1748), les Institutiones calculi differentialis (1755) et les Institutiones calculi integralis (3 vol., 1768-1770). Le premier de ces traités opè […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 juin 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/