DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Autres équations

Équations qui changent de type

L'équation de Tricomi :

est hyperbolique dans le demi-plan x2 < 0, elliptique dans le demi-plan x2 > 0.

En dehors de cela, le principal intérêt de l'équation de Tricomi est sa simplicité qui a permis d'en faire une étude assez détaillée. On rencontre un système présentant le même changement de type dans l'étude des écoulements stationnaires de fluides compressibles non visqueux. En admettant que l'équation d'état permet d'écrire la pression comme une fonction p de la densité, les équations du mouvement s'écrivent dans ce cas :

Les notations ont le même sens que dans l'équation (22) ; p′(ρ) est le carré de la vitesse de propagation du son dans le fluide, on voit qu'elle dépend de x par l'intermédiaire de la densité. Dans la région subsonique, c'est-à-dire celle où ∥u2 < p′(ρ), le système est elliptique, il est hyperbolique dans la région supersonique, c'est-à-dire celle où ∥u2 > p′(ρ).

Dans les équations et systèmes hyperboliques dont nous avons parlé jusqu'ici, la variable temps jouait un rôle privilégié ; ce rôle est tenu dans la région supersonique par le déplacement dans la direction de l'écoulement. On peut d'ailleurs dans ce cas entendre la propagation des singularités dans la région hyperbolique : c'est le « bang » de l'avion passant le mur du son.

Naturellement, c'est dans les régions comportant à la fois des parties supersoniques et des parties subsoniques que l'étude de l'écoulement est la plus délicate (régions transsoniques). L'étude de ces régions transsoniques connaît un regain d'intérêt car la hausse du prix du carburant a amené à renoncer, pour les avions de ligne du futur, aux vitesses supersoniques.

L'équation de Schrödinger

L'équation de Schrödinger :

décrit en physique quantique l'évolution de la fonction d'onde u d'une particule non relativiste de masse m soumise à un potentiel V. Elle n'est pas hyperbolique, ce qui semble mettre en défaut l'assertion selon laquelle la physique des phénomènes réversibles est décrite par des systèmes hyperboliques. Mais il ne faut pas oublier que l'équation de Schrödinger [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 10 pages






Écrit par :

Classification


Autres références

«  DÉRIVÉES PARTIELLES ÉQUATIONS AUX  » est également traité dans :

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS, 
  • Martin ZERNER
  •  • 5 997 mots
  •  • 7 médias

Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « améliorer » l […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS
  •  • 10 860 mots
  •  • 3 médias

L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des événements que les équations linéaires ne peuvent […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
  •  • 5 498 mots

Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous allons […] Lire la suite

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
  •  • 1 580 mots
  •  • 2 médias

Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(xyz) où les coordonnées x, y et z correspondent à tous les points de l’espace occupés par le mobile traç […] Lire la suite

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « Équations différentielles et équations aux dérivées partielles »  : […] Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviii e  siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équati […] Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par 
  • René TATON
  •  • 11 508 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart des phénomènes physiques dépendent de plusieurs variables révélait l'importance de ce nouveau ty […] Lire la suite

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 403 mots

Dans le chapitre « Une production considérable »  : […] La production de Cauchy a été considérable ; même ses contemporains lui reprochaient à juste titre sa hâte inconsidérée à livrer souvent à l'impression des débauches indignes de son génie, et il y a évidemment un déchet non négligeable dans le demi-millier de notes qu'il a publiées aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Il n'en est pas moins vrai que, même en faisant abstraction de ses tr […] Lire la suite

DARBOUX GASTON (1842-1917)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 320 mots

Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale (1872-1873). Il fut maître de conférences (1873-1881), puis professeur de géométrie supérieure (1881) à la faculté des s […] Lire la suite

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
  •  • 1 488 mots

Dans le chapitre « Équations différentielles »  : […] Les équations différentielles sont des équations dont les coefficients et les variables sont eux-mêmes des fonctions, et dont les termes contiennent les dérivées de cette fonction ainsi que la fonction elle-même. Les équations différentielles ordinaires impliquent une fonction y d'une seule variable x et ses dérivées y ', y '', etc. ; l' ordre d'une telle équation est l'ordre de la plus haute […] Lire la suite

EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL, 
  • Jean ITARD
  •  • 2 813 mots

Dans le chapitre « Mathématiques »  : […] Euler est l'auteur de trois grands traités didactiques sur l'analyse infinitésimale, dans lesquels il a exposé sa conception nouvelle du calcul différentiel et intégral et ses rapports avec la géométrie : l' Introductio in analysin infinitorum (1748), les Institutiones calculi differentialis (1755) et les Institutiones calculi integralis (3 vol., 1768-1770). Le premier de ces traités opè […] Lire la suite

FORME

  • Écrit par 
  • Jean PETITOT
  •  • 27 547 mots

Dans le chapitre « Caustiques et optique écologique »  : […] D'abord, on peut donner raison à Gibson en ce qui concerne l'idée que des discontinuités constitutives de morphologies peuvent être véhiculées par la lumière. Nous considérerons le cas le plus simple, celui des caustiques. Dans l'approximation de l'optique géométrique dans un milieu homogène et isotrope, les caustiques sont faciles à décrire. Soit S 0 une surface émettrice de rayons lumineux, c'e […] Lire la suite

FOURIER JOSEPH (1768-1830)

  • Écrit par 
  • Louis CHARBONNEAU
  •  • 1 865 mots

Dans le chapitre « L'œuvre mathématique »  : […] L'originalité de Fourier réside principalement dans sa théorie de la propagation de la chaleur dans un solide. Sur le plan purement mathématique, les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une «  fonction arbitraire » par une série trigo […] Lire la suite

FREDHOLM IVAR (1866-1927)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 320 mots

Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce poste jusqu'à sa nomination, en 1906, comme professeur de mécanique rationnelle et de physique mathématique à la même un […] Lire la suite

GREEN GEORGE (1793-1841)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 312 mots

Mathématicien anglais, né et mort à Sneinton (près de Nottingham). George Green, à travers sa recherche d'une formulation mathématique de la théorie de l'électricité statique et du magnétisme, est le créateur de la théorie du potentiel. Boulanger de son métier, il s'initia seul aux mathématiques, principalement en lisant les mémoires de Poisson, et peut-être cela explique-t-il la très grande origi […] Lire la suite

HADAMARD JACQUES (1865-1963)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 395 mots

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] Cherchant toujours à rester en contact étroit avec l'« intuition physique », Hadamard a consacré un grand nombre de publications aux équations aux dérivées partielles et s'est toujours intéressé à ce sujet. On lui doit tout d'abord la notion de « problème correctement posé ». Amené à l'introduire par une réflexion sur la signification physique de nombreux problèmes aux limites, il impose aux solu […] Lire la suite

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23 »  : […] Avant d'aborder le sujet de la théorie des fonctions, Hilbert pose la question : Quelles fonctions ? Autrement dit, comment choisir une classe de fonctions ayant d'assez bonnes propriétés, mais aussi suffisamment riche pour contenir les solutions d'équations « naturelles », par exemple celles de la physique. Nous avons vu (treizième problème) que de telles préoccupations étaient constantes chez lu […] Lire la suite

HÖRMANDER LARS (1931-2012)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 243 mots

Mathématicien suédois, lauréat de la médaille Fields en 1962 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 24 janvier1931 à Mjällby (Suède), Lars Hörmander est le fils de l'instituteur d'un petit village de pêcheurs de la côte sud suédoise. Il fait ses études supérieures à l'université de Lund sous la direction de Marcel Riesz (1886-1969) et obtient son doctorat en […] Lire la suite

KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 416 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Mathématiques appliquées »  : […] Kolmogorov a consacré de nombreuses publications aux équations aux dérivées partielles de la physique. Les équations de Navier-Stockes étaient le prototype des équations qui interviennent dans l'étude de la réaction-diffusion, la turbulence et la mécanique statistique. En 1931, Kolmogorov a introduit une vaste classe d'équations aux dérivées partielles dont le champ naturel est l'espace de Hilber […] Lire la suite

KOVALEVSKAÏA SOFIA VASSILIEVNA (1850-1891)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 261 mots

Femme de lettres et mathématicienne russe, née à Moscou et morte à Stockholm. Le nom de Kovalevskaïa reste attaché à la théorie des équations aux dérivées partielles. Issue d'un milieu aristocratique et riche (elle était fille d'un général d'artillerie), Sofia Vassilievna épousa, en 1868, un jeune paléontologiste, V. Kovalewski, et alla étudier les mathématiques à l'université de Heidelberg, où el […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 31 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/