CORPS, mathématiques
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Exemples
Suffisamment « rigides » pour être maniés et étudiés précisément, les corps constituent à la fois un modèle et un outil qui interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques et dans des questions, même relativement élémentaires, de géométrie algébrique, analytique ou projective ou de théorie des nombres. Voici quelques exemples.
Caractéristique d'un corps et corps finis
L'intersection d'une famille de sous-corps d'un corps K est encore un corps. Considérant en particulier la famille de tous les sous-corps de K, on obtient le plus petit sous-corps de K, appelé sous-corps premier K0 de K. Notant n.1 la somme de n exemplaires de 1, pour tout entier naturel n, on définit la caractéristique (cf. anneaux et algèbres, chap. 3).
Si n.1 ≠ 0 pour n ≠ 0, on dit que K est de caractéristique nulle. Les n.1 et − (n.1) pour n ∈ N forment donc un sous-anneau de K isomorphe à l'anneau Z des entiers relatifs et le corps K0 est isomorphe au corps Q des nombres rationnels. Le corps K est donc une extension du corps des nombres rationnels.
Dans le cas contraire, la caractéristique de K est le plus petit entier strictement positif tel que p.1 = 0. C'est un nombre premier et le corps K0 est alors isomorphe au corps fini Fp = Z/pZ des entiers relatifs modulo p (cf. anneaux et algèbres, chap. 3). Ainsi, tout corps de caractéristique p est une extension du corps Fp et deux corps de caractéristiques différentes ne peuvent être extension l'un de l'autre.
Soit K un corps fini. Un théorème dû à J. H. M. Wedderburn affirme qu'un tel corps est nécessairement commutatif. La caractéristique de K est nécessairement un nombre premier p et K est une extension finie du corps premier Fp. Si n = [K : Fp], alors K est isomorphe à (Fp)n comme espace vectoriel sur Fp et il a donc pn éléments. On verra ci-dessous que pour tout entier de la forme pn, avec n premier, il existe un corps (unique à un isomorphisme près) possédant pn éléments ; on le note Fpn.
Corps de nombres
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Écrit par :
- Robert GERGONDEY : professeur à la faculté des sciences de Lille
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Pour citer l’article
Robert GERGONDEY, « CORPS, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/corps-mathematiques/