CORPS, mathématiques
Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis
Exemples
Suffisamment « rigides » pour être maniés et étudiés précisément, les corps constituent à la fois un modèle et un outil qui interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques et dans des questions, même relativement élémentaires, de géométrie algébrique, analytique ou projective ou de théorie des nombres. Voici quelques exemples.
Caractéristique d'un corps et corps finis
L'intersection d'une famille de sous-corps d'un corps K est encore un corps. Considérant en particulier la famille de tous les sous-corps de K, on obtient le plus petit sous-corps de K, appelé sous-corps premier K0 de K. Notant n.1 la somme de n exemplaires de 1, pour tout entier naturel n, on définit la caractéristique (cf. anneaux et algèbres, chap. 3).
Si n.1 ≠ 0 pour n ≠ 0, on dit que K est de caractéristique nulle. Les n.1 et − (n.1) pour n ∈ N forment donc un sous-anneau de K isomorphe à l'anneau Z des entiers relatifs et le corps K0 est isomorphe au corps Q des nombres rationnels. Le corps K est donc une extension du corps des nombres rationnels.
Dans le cas contraire, la caractéristique de K est le plus petit entier strictement positif tel que p.1 = 0. C'est un nombre premier et le corps K0 est alors isomorphe au corps fini Fp = Z/pZ des entiers relatifs modulo p (cf. anneaux et algèbres, chap. 3). Ainsi, tout corps de caractéristique p est une extension du corps Fp et deux corps de caractéristiques différentes ne peuvent être extension l'un de l'autre.
Soit K un corps fini. Un théorème dû à J. H. M. Wedderburn affirme qu'un tel corps est nécessairement commutatif. La caractéristique de K est nécessairement un nombre premier p et K est une extension finie du corps premier Fp. Si n = [K : Fp], alors K est isomorphe à (Fp)n comme espace vectoriel sur Fp et il a donc pn éléments. On verra ci-dessous que pour tout entier de la forme pn, avec n premier, il existe un corps (unique à un isomorphisme près) possédant pn éléments ; on le note Fpn.
Corps de nombres
Le corps C des nombres complexes est u [...]
1
2
3
4
5
…
pour nos abonnés,
l’article se compose de 10 pages
Écrit par :
- Robert GERGONDEY : professeur à la faculté des sciences de Lille
Classification
Autres références
« CORPS, mathématiques » est également traité dans :
ALGÈBRE
Dans le chapitre « Corps et anneaux » : […] L'étude des corps et des anneaux trouve son origine dans les travaux de l'école allemande du xix e siècle, principalement ceux de Kummer, Kronecker, Dedekind et Hilbert. Au départ, les motivations sont ici essentiellement la théorie des équations puis la théorie arithmétique des nombres algébriques, qui découle de recherches relatives au théorème de Fermat ; plus tardivement, et jusqu'à l'époque […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/#i_24090
ALGÉBRIQUES STRUCTURES
Dans le chapitre « Espèces de structures de caractérisation typique S ∈ P((K×K)×K) × P((K×K)×K) × P((V×V)×V) × P((K×V)×V) × P((V×E)×E) ou S ∈ P((K×K)×K) × P((K×K)×K) × P((V×V)×V) × P((V×K)×V) × P((E×V)×E) : espèce de structure d'espace affine attaché à un espace vectoriel à gauche (ou à droite) sur un corps et espèces de structures plus riches » : […] Soit V = (V, l ∗ , l g • ) un espace vectoriel à gauche sur un corps K = (K, l ⊤ , l ⊥ ). Un espace affine attaché à V sur K (ou V K -espace affine ) est un couple R aff = (E, l ⊕ ) qui est un espace homogène sur le groupe (V, l ∗ ) tel que e ∗ soit le seul opérateur de (V, l ∗ ) tel que ∀ p , p ∈ E ⇒ e ∗ ⊕ p = p . E est donc un ensemble non vide, l ⊕ une loi d'action de V× […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-algebriques/#i_24090
CONSTRUCTION, mathématique
Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix e siècle et surtout le début du xx e , on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/construction-mathematique/#i_24090
GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)
Dans le chapitre « Groupe de Galois » : […] Galois reprend le problème où l'avait laissé Niels Abel, dont les mémoires ne lui sont que tardivement connus. Il éclaircit sa notion de quantité rationnelle par rapport à d'autres quantités, parvenant à une notion très proche de celle de corps engendré par un ensemble fini de nombres algébriques. Il démontre – ce qu'Abel avait affirmé – que le corps engendré par les racines d'une équation algéb […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/evariste-galois/#i_24090
HENSEL KURT (1861-1941)
Mathématicien allemand, Kurt Hensel est né le 21 décembre 1861 à Königsberg et mort le 1 er juin 1941 à Marburg. Il est le créateur de la théorie des nombres p -adiques. Kurt Hensel soutint en 1886 sa thèse, à Berlin, devant Kronecker, avec qui il était très lié. Il enseigna à Berlin, puis, à partir de 1901, à l'université de Marburg. Les premiers travaux de Hensel portent sur l'algèbre linéaire […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/kurt-hensel/#i_24090
HILBERT DAVID (1862-1943)
Dans le chapitre « Problème 14 : théorie des invariants » : […] Ce problème a trait à un sujet auquel Hilbert avait consacré sa thèse. Ses résultats, qui sont, en quelque sorte, à l'origine de la géométrie algébrique moderne, auraient suffi à eux seuls à lui assurer une place au panthéon des mathématiques (cf. ci-dessus : « Théorie des invariants », dans la partie Algèbre et théorie des nombres du chapitre 1 Sa vie et son œuvre ). L'énoncé moderne du problème […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_24090
MODÈLES THÉORIE DES
Dans le chapitre « Classification et dénombrement des modèles » : […] Les théories (dénombrables) ℵ 1 -catégoriques sont d'une extrême simplicité du triple point de vue du nombre de leurs modèles , de la classification de leurs modèles (un modèle a est caractérisé par sa dimension , qui est un cardinal δ, comparable au degré de transcendance pour les corps et à la dimension pour les espaces vectoriels, tel que δ + ℵ 0 = |A|), enfin de celui du nombre de leurs typ […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-modeles/#i_24090
NOMBRES COMPLEXES
Dans le chapitre « Construction » : […] Par définition, un nombre complexe sera un couple z = ( x , y ) de deux nombres réels ; si z = ( x , y ) et z ′ = ( x ′, y ′) sont deux nombres complexes, on appelle alors somme et produit de ces deux nombres complexes les nombres complexes : Il est alors facile de vérifier que, pour ces deux opérations, l'ensemble des couples de nombres réels est un corps, le corps C des nombres complexes […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-complexes/#i_24090
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques
Dans le chapitre « Corps de nombres algébriques » : […] Dedekind (1871, 1893) a étendu les théories précédentes en développant les notions de corps de nombres algébriques et d'entiers algébriques. Un corps de nombres algébriques est une extension finie du corps Q des nombres rationnels ; un tel corps peut s'écrire K = Q (θ), où θ vérifie une équation algébrique irréductible f ( x ) = 0, de degré n , à coefficients rationnels (cf. corps mathématique […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/#i_24090
QUADRATIQUES FORMES
Dans le chapitre « Formes quadratiques sur un corps » : […] Nous distinguons deux cas, suivant que la caractéristique du corps de base K est distincte de 2 ou égale à 2. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/formes-quadratiques/#i_24090
RÉELS NOMBRES
Dans le chapitre « Autres caractérisations » : […] Le premier exemple est fondamental dans la théorie des algèbres normées (cf. algèbres normées ). Le théorème de Gelfand-Mazur affirme que les seules algèbres de Banach qui soient des corps sont : le corps des nombres réels, celui des nombres complexes et celui des quaternions (à un isomorphisme de corps de Banach près). On peut éliminer les quaternions en requérant la commutativité. Pour éliminer […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/#i_24090
ROBINSON JULIA (1919-1985)
Née le 8 décembre 1919 à Saint. Louis, dans le Missouri, Julia Robinson fut une logicienne éminente et la mathématicienne américaine la plus connue du xx e siècle. Épouse d'un mathématicien de grand talent, Raphael M. Robinson, professeur à l'université de Californie à Berkeley, elle vit sa carrière académique contrariée par une réglementation qui interdisait à ladite université de recruter comme […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/julia-robinson/#i_24090
WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)
Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en algèbre et en théorie des nombres. Né le 5 mai 1842 à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_24090
Voir aussi
Pour citer l’article
Robert GERGONDEY, « CORPS, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/corps-mathematiques/