CORPS, mathématiques

Adjonction, extensions simples

Soit L un corps et K un sous-corps de L. Pour tout sous-ensemble S de L, l'intersection des sous-corps de L qui contiennent K et S est un sous-corps de L, que l'on appelle le sous-corps obtenu par adjonction de S à K, et que l'on note K(S). Si K(S) = L, on dit que S est un système de générateurs de L sur K. Un cas particulier important est celui où S est réduit à un seul élément x : l' extension obtenue est notée K(x), et on dit que c'est une extension simple de K. En effet, toute extension L d'un corps K peut être obtenue par adjonctions « répétées » d'un élément (lorsque L possède un système S fini ou dénombrable de générateurs, l'expression « répétées » a le sens classique ; pour la définir dans le cas général, il faut faire une récurrence transfinie après avoir muni S d'un bon ordre, ce qu'autorise l'axiome de Zermelo).

Soit L une extension simple d'un corps K, et soit x un générateur, c'est-à-dire que L = K(x). On peut faire un raisonnement tout à fait parallèle à celui qui a été fait à propos de la caractéristique. En effet, deux cas se présentent :

– Les monômes xⁿ sont linéairement indépendants sur K, c'est-à-dire qu'une relation telle que :

avec les a_i dans K, n'est possible que si a₀ = a₁ = a₂ = ... = a_n = 0. Le corps K(x) est alors isomorphe au corps K(X) des fractions rationnelles sur K. On dit que x est transcendant et que K(x) est une extension transcendante simple de K. Évidemment, tout élément y de K(x) qui n'appartient pas à K est transcendant sur K et on a K(y) = K(x). Les exemples classiques de nombres transcendants sur Q sont ceux de e = 2,718 28..., base des logarithmes népériens, et π = 3,141 59..., rapport de la circonférence d'un arc à son diamètre (cf. nombres transcendants).

– Il existe un polynôme non constant, que l'on peut supposer irréductible, P(X), à coefficients dans K tel que P(x) = 0. Le corps K(x) est alors isomorphe au corps de restes K[X]/(P(X)). On dit que x est algébrique sur K et que K(x) est une extension algébrique simple de K. Si le polynôme P(X), que l'on appelle polynôme minimal de x, est de degré n, (1, x, x², ..., x^n-1) est une base de K(x) sur K et on a donc [K(x) : K] = n.

Extensions algébriques, bases de transcendance

On peut généraliser ce qui vient d'être dit au précédent paragraphe. Un élément x d'une extension L d'un corps K est algébrique s'il vérifie une équation algébrique à coefficients dans K :

ou, en d'autres termes, si l'extension simple K(x) de K est algébrique. Si tous les éléments de L sont algébriques sur K, on dit que L est une extension algébrique de K. Ainsi en est-il d'une extension algébrique simple. On peut montrer facilement que toute extension algébrique engendrée par un nombre fini d'éléments est finie. La réciproque étant claire, il n'y a pas lieu de distinguer les extensions finies de celles que l'on appelle parfois extensions algébriques finies.

Revenons maintenant au cas général d'une extension quelconque L d'un corps K. Un sous-ensemble S de L est algébriquement indépendant sur K, par définition, si, pour tout sous-ensemble fini (s₁, s₂, ..., s_n) de S, il n'existe aucun polynôme à coefficients dans K non nul P(X₁, X₂, ..., X_n), tel que P (s₁, s₂, ..., s_n) = 0. Le corps K (s₁, s₂, ..., s_n) engendré sur K par les s_i est alors isomorphe au corps des fractions rationnelles à n variables sur K, K(X₁, X₂, ..., X_n). Une base de transcendance de L sur K est un sous-ensemble T de L, algébriquement indépendant sur K, et tel que L soit une extension algébrique de K(T). On démontre qu'il existe toujours de telles bases de transcendance[...]