CORPS, mathématiques

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Théorie élémentaire des corps commutatifs

Adjonction, extensions simples

Soit L un corps et K un sous-corps de L. Pour tout sous-ensemble S de L, l'intersection des sous-corps de L qui contiennent K et S est un sous-corps de L, que l'on appelle le sous-corps obtenu par adjonction de S à K, et que l'on note K(S). Si K(S) = L, on dit que S est un système de générateurs de L sur K. Un cas particulier important est celui où S est réduit à un seul élément x : l'extension obtenue est notée K(x), et on dit que c'est une extension simple de K. En effet, toute extension L d'un corps K peut être obtenue par adjonctions « répétées » d'un élément (lorsque L possède un système S fini ou dénombrable de générateurs, l'expression « répétées » a le sens classique ; pour la définir dans le cas général, il faut faire une récurrence transfinie après avoir muni S d'un bon ordre, ce qu'autorise l'axiome de Zermelo).

Soit L une extension simple d'un corps K, et soit x un générateur, c'est-à-dire que L = K(x). On peut faire un raisonnement tout à fait parallèle à celui qui a été fait à propos de la caractéristique. En effet, deux cas se présentent :

– Les monômes xn sont linéairement indépendants sur K, c'est-à-dire qu'une relation telle que :

avec les ai dans K, n'est possible que si a0 = a1 = a2 = ... = an = 0. Le corps K(x) est alors isomorphe au corps K(X) des fractions rationnelles sur K. On dit que x est transcendant et que K(x) est une extension transcendante simple de K. Évidemment, tout élément y de K(x) qui n'appartient pas à K est transcendant sur K et on a K(y) = K(x). Les exemples classiques de nombres transcendants sur Q sont ceux de e = 2,718 28..., base des logarithmes népériens, et π = 3,141 59..., rapport de la circonférence d'un arc à son diamètre (cf. nombres transcendants).

– Il existe un polynôme non constant, que l'on peut supposer irréductible, P(X), à coefficients dans K tel que P(x) = 0. Le corps K(x) est alors isomorphe au corps de restes K[X]/(P(X)). On dit que x est algébrique sur K et que K(x) est une extensio [...]

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Pour citer l’article

Robert GERGONDEY, « CORPS, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 juin 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/corps-mathematiques/