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CORPS, mathématiques

Corps non commutatifs

On a examiné jusqu'à présent des corps qui étaient commutatifs, mais l'étude des corps non commutatifs n'est pas d'un moindre intérêt.

Si K est un corps non commutatif, l'ensemble Z des éléments de K qui permutent avec tout élément x, c'est-à-dire tels que xz = zx, est visiblement un corps commutatif que l'on appelle le centre de K. Nous avons déjà signalé l'exemple des quaternions H dont le centre n'est autre que le corps R des nombres réels. Voici un autre exemple dû à Hilbert :

Soit Fq un corps fini à q = pr éléments (r ≥ 2), si on munit l'ensemble des séries formelles ΣanTn sur Fq de l'addition habituelle et d'une multiplication déduite par distributivité et associativité de la règle élémentaire Ta = apT, on obtient un corps non commutatif Fq((T)). Il est facile de voir que le centre de ce corps est formé des séries formelles constantes a0a0 ∈ Fp et qu'il est donc isomorphe à Fp. Les séries formelles à coefficients dans Fp forment un sous-corps commutatif de Fq((T)).

On peut développer au sujet des corps non commutatifs des considérations tout à fait analogues à celles qui ont été faites dans le cas des corps commutatifs. En particulier, on sait définir la caractéristique d'un corps non commutatif, et cette caractéristique n'est autre que celle du centre. De même, si L est un corps non commutatif et K un sous-corps de L, la notion d'adjonction à K d'un sous-ensemble S de L garde tout son sens. Il est à remarquer que si K est commutatif et x un élément de L qui permute avec tout élément de K, le sous-corps K(x) de L obtenu par adjonction de x à K est encore commutatif, ce qui permet de démontrer l'existence de sous-corps commutatifs maximaux dans L (c'est-à-dire de sous-corps commutatifs qui ne sont contenus strictement dans aucun autre sous-corps commutatif). L'étude des automorphismes des extensions commutatives finies d'un corps commutatif conduit à ce qu'on appelle la théorie de Galois. Mais il existe une théorie de Galois non commutative due à E. Noether et T. Skolem (1928), dont on donne ci-dessous quelques résultats. Si K est un corps non commutatif de centre Z, il est facile de mettre en évidence des automorphismes de K qui laissent Z fixe : pour tout élément non nul x de K, l'application y ↦ xyx-1 de K dans K est un automorphisme σx de K. Les automorphismes de la forme σx sont appelés les automorphismes intérieurs de K. Un théorème de Skolem-Noether assure que, si K est un corps non commutatif de degré fini sur son centre Z, il n'existe pas d'autres automorphismes de K laissant Z fixe que les automorphismes intérieurs. Un autre théorème permet de préciser la structure des corps non commutatifs K de degré fini sur son centre Z. Si L est un sous-corps de K qui contient Z, l'ensemble L′ des éléments y de K tels que xy = yx pour tout x dans L est un sous-corps de K qui contient Z et que l'on appelle le commutant de L. On voit facilement que, si on répète l'opération, on a (L′)′ = L. De plus, on a l'égalité [K : Z] = [L : Z] [L′ : Z]. Il résulte immédiatement des définitions qu'un sous-corps L est commutatif si, et seulement si, L ⊂ L′ et que les sous-corps commutatifs maximaux sont ceux pour lesquels L = L′. Si bien que, si n est le degré sur Z d'un sous-corps commutatif maximal de K, on a [K : Z] = n2 : le degré d'un corps non commutatif sur son centre est toujours un carré. C'est bien ce qu'on vérifie dans le cas du corps H des quaternions où C est un sous-corps commutatif maximal[H : R] = 4 = 22 = [C : R]2.

Signalons enfin que R.  Brauer a pu munir l'ensemble Br(Z) des classes d'isomorphisme de corps de centre Z et de degré fini[...]

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Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Lille
  • Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    ...par exemple, l'ensemble des éléments distincts de l'élément neutre pour la première loi (noté 0) est un groupe pour la seconde loi, on dit que l'anneau est un corps. Ici on considérera seulement le cas où la multiplication est commutative, en renvoyant à la fin du chapitre 3 le cas non commutatif.
  • ALGÉBRIQUES STRUCTURES

    • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
    • 29 463 mots
    Un corps peut être défini indifféremment comme un anneau unifère (E, l, l) tel que E possède au moins deux éléments et que tout élément appartenant à E différent de l'élément neutre de la loi l soit symétrisable pour la loi l, ou comme un corpoïde (E, λ, λ...
  • CONSTRUCTION, mathématique

    • Écrit par André WARUSFEL
    • 1 391 mots

    Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xixe siècle et surtout le début du xxe, on a mis au point une méthodeaxiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir...

  • GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)

    • Écrit par Jean-Pierre AZRA, Robert BOURGNE
    • 2 062 mots
    • 1 média
    ...que tardivement connus. Il éclaircit sa notion de quantité rationnelle par rapport à d'autres quantités, parvenant à une notion très proche de celle de corps engendré par un ensemble fini de nombres algébriques. Il démontre – ce qu'Abel avait affirmé – que le corps engendré par les racines d'une équation...
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