AIRE MINIMALE SURFACES D'

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Au xixe siècle, le physicien belge Joseph Plateau découvrait que les membranes savonneuses formées dans des contours rigides en fil de fer représentaient une solution simple à certains problèmes mathématiques complexes qui exigent la détermination de surfaces d'aire minimale. Quelle est, par exemple, la forme de la surface d'aire minimale limitée par les douze arêtes d'un cube en fil de fer ?

Cube à faces pincées

Cube à faces pincées

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Cube à faces pincées. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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La surprise fut grande quand on se rendit compte qu'on pouvait résoudre ce problème d'aire minimale en plongeant le cube dans une solution de savon : il se forme en effet à l'intérieur de cette armature, quand on l'enlève de son bain, une surface constituée d'un film liquide, limitée par les douze arêtes, et présentant la propriété d'avoir une aire minimale. Ce n'est que récemment que l'analyse a permis de décrire la géométrie de ces solutions expérimentales. C'est le mathématicien allemand Jacob Steiner qui, au début du xixe siècle, étudia le problème du chemin le plus court, qui est aujourd'hui celui de l'autoroute.

Le problème de l'autoroute

Le cas le plus simple est celui de la route la plus courte reliant deux villes : nous savons depuis nos premières années d'école que c'est la route rectiligne. Mais si nous essayons de généraliser ce résultat pour déterminer la route la plus courte pour relier trois villes, quatre villes ou plus, le problème devient vite de plus en plus complexe.

Prenons comme exemple le problème qui consiste à déterminer la longueur minimale du réseau routier reliant quatre villes A, B, C et D disposées aux sommets d'un rectangle dont les côtés mesurent 100 km et 200 km. La solution n'apparaît pas immédiatement. Procédons méthodiquement.

Configurations d'autoroutes

Configurations d'autoroutes

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Configurations d'autoroutes. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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On peut d'abord imaginer un réseau de routes rectilignes qui relieraient toutes les villes deux à deux par le trajet le plus court possible. Les routes de ce réseau auraient dans ce cas un total de : 100 × (6 + 25) km = 1 047 km.

Il est cependant possible de construire une autoroute reliant toutes les villes mais ayant une longueur plus faible. Considérons une route circulaire passant par les quatre villes. Elle relie les q [...]


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Cube à faces pincées

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Configurations d'autoroutes

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Lames de savon entre deux feuilles et deux épingles

Lames de savon entre deux feuilles et deux épingles
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Solution du problème des quatre villes

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Écrit par :

  • : lecturer in theoretical physics, lectures and researches in solid states physics, University of Kent, Canterbury

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UHLENBECK KAREN (1942- )

  • Écrit par 
  • Fabrice BETHUEL
  •  • 1 280 mots
  •  • 1 média

Karen Uhlenbeck, née Karen Keskulla le 24 août 1942 à Cleveland (Ohio), est une mathématicienne américaine . Après des études à l’université du Michigan puis au Courant Institute à New-York, elle soutient en 1968 une thèse de doctorat dirigée par Richard Palais à l’université Brandeis de Waltham (Massachusetts). Elle est nommée professeure à l’université de Chicago en 1983, puis devient en 1988 p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/karen-uhlenbeck/#i_51323

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Pour citer l’article

Cyril ISENBERG, « AIRE MINIMALE SURFACES D' », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 29 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/surfaces-d-aire-minimale/