COURBES TRANSFORMATIONS DE
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Toute courbe peut être considérée comme une transformée de la plus simple d'entre elles, à savoir la droite, et les courbes sont donc toutes des transformées les unes des autres. Nous allons présenter dans cet article les plus classiques de ces transformations, en commençant par les plus simples. Cela nous permettra de relier certaines courbes remarquables entre elles et d'en effectuer une classification.
Lorsque rien n'est précisé, il s'agira toujours de courbes planes. Ce que nous appelons «le plan» est le plan affine réel euclidien P isomorphe à ℝ2; ce que nous appelons «le plan conforme» et notons P^, est le plan muni d'un point à l'infini, homéomorphe à la sphère S2, et ce que nous appelons «le plan projectif» et notons P̄ est le plan muni de sa droite de l'infini, ensemble des points à l'infini de chaque direction de droite.
Transformations globales
Nous considérons ici les transformations globales du plan dans lui-même, qui n'agissent donc pas seulement sur une courbe particulière, mais sur toute sous-partie du plan.
Transformations affines
Une transformation affine est caractérisée, moyennant le théorème fondamental de la géométrie affine réelle, par le fait d'être une bijection du plan dans lui-même conservant les alignements. C'est Leonard Euler (1707-1783) qui est à l'origine de ce terme «affine» car, dit-il en 1748, «deux courbes images l'une de l'autre par une telle transformation présentent entre elles une certaine affinité».
On montre qu'une transformation affine peut se décomposer en produit d'une isométrie, d'une homothétie, et d'une affinité ou d'une transvection (voir la définition de ces trois derniers termes dans la figure 7).
Isométries
Les isométries sont les transformations du plan conservant les distances; une condition équivalente est qu'elles soient affines (i.e. conservent les alignements) et conformes ou anticonformes (i.e. conservent les angles non orientés). Celles d'entre elles qui conservent les angles orientés, appelées déplacements, sont constituées des rotations et translations. Elles ne sont pas vécues véritablement comme des transformations, mais comme de simples changements de position. Les Anciens ne parlaient-ils pas, dans le cas de figures images l'une de l'autre par un déplacement, de figures «égales»?
Les transformations conservant les distances mais renversant les angles, appelées antidéplacements, et constituées des réflexions, transforment une courbe en son «image miroir».
Remarquons que tout antidéplacement d'une courbe ayant un axe de symétrie revient en fait à un déplacement de cette courbe; un antidéplacement ne sera donc vécu comme une transformation que si cette courbe n'est pas symétrique; c'est par exemple le cas des spirales (fig. 1).
Une spirale de Fermat et son image miroir, obtenue par réflexion.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Cependant, une réflexion plane peut être obtenue par un demi-tour en dimension 3 (résultat qui est un cas particulier du fait que toute isométrie indirecte de ℝn est la restriction à ℝn d'une isométrie directe de ℝn+1); concrètement, il suffit de retourner la feuille sur laquelle est dessinée la courbe et de regarder par transparence pour obtenir son image miroir.
De même, deux courbes gauches, image miroir l'une de l'autre, sont obtenues par un déplacement dans ℝ4; mais comme nous n'avons pas accès à une quatrième dimension dans le monde réel, deux courbes gauches sans plan de symétrie et image miroir l'une de l'autre, par exemple deux hélices (fig. 2) ou deux nœuds de trèfle (fig. 3), sont réellement vues comme distinctes. La notion est d'importance puisque certaines substances sont toxiques ou non selon qu'elles sont dextrogyres ou lévogyres.
Une hélice circulaire et son image miroir.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Un nœud de trèfle et son image miroir.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Similitudes
Les similitudes sont les bijections du plan conservant les rapports de distances; on montre facilement que ce sont les composées d'une isométrie avec une homothétie.
Les similitudes directes sont vues comme de simples changements d'échelle et les similitudes indirectes, comme des changements d'échelle sur l'image miroir.
On confond en général une courbe et sa classe de similitude: «la» parabole est un concept qui regroupe toutes les paraboles, lesquelles sont semblables entre elles.
Mentionnons ici la spirale logarithmique qui est telle que, pour elle, toute similitude revient en fait à une isométrie (fig. 4).
Spirale logarithmique, d'équation polaire ?.=.ek? : toute rotation de cette courbe autour du point asymptote revient à une homothétie (ek(?+a).=.eka.ek?).
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Autres transformations affines
Elles conservent les alignements, mais pas forcément les angles. Les axes de symétrie orthogonale deviennent par exemple des axes de symétrie oblique.
Quelques exemples:
– Un cercle est transformé en une ellipse, qui, si [...]
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Écrit par :
- Robert FERRÉOL : professeur agrégé de mathématiques
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Robert FERRÉOL, « COURBES TRANSFORMATIONS DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/transformations-de-courbes/