COURBES TRANSFORMATIONS DE
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Toute courbe peut être considérée comme une transformée de la plus simple d'entre elles, à savoir la droite, et les courbes sont donc toutes des transformées les unes des autres. Nous allons présenter dans cet article les plus classiques de ces transformations, en commençant par les plus simples. Cela nous permettra de relier certaines courbes remarquables entre elles et d'en effectuer une classification.
Lorsque rien n'est précisé, il s'agira toujours de courbes planes. Ce que nous appelons «le plan» est le plan affine réel euclidien P isomorphe à ℝ2; ce que nous appelons «le plan conforme» et notons P^, est le plan muni d'un point à l'infini, homéomorphe à la sphère S2, et ce que nous appelons «le plan projectif» et notons P̄ est le plan muni de sa droite de l'infini, ensemble des points à l'infini de chaque direction de droite.
Transformations globales
Nous considérons ici les transformations globales du plan dans lui-même, qui n'agissent donc pas seulement sur une courbe particulière, mais sur toute sous-partie du plan.
Transformations affines
Une transformation affine est caractérisée, moyennant le théorème fondamental de la géométrie affine réelle, par le fait d'être une bijection du plan dans lui-même conservant les alignements. C'est Leonard Euler (1707-1783) qui est à l'origine de ce terme «affine» car, dit-il en 1748, «deux courbes images l'une de l'autre par une telle transformation présentent entre elles une certaine affinité».
On montre qu'une transformation affine peut se décomposer en produit d'une isométrie, d'une homothétie, et d'une affinité ou d'une transvection (voir la définition de ces trois derniers termes dans la figure 7).
Isométries
Les isométries sont les transformations du plan conservant les distances; une condition équivalente est qu'elles soient affines (i.e. conservent les alignements) et conformes ou anticonformes (i.e. conservent les angles non orientés). Celles d'entre elles qui conservent les angles orientés, appelées déplacements, sont constituées des rotations et translations. Elles ne sont pa [...]
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Écrit par :
- Robert FERRÉOL : professeur agrégé de mathématiques
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Robert FERRÉOL, « COURBES TRANSFORMATIONS DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/transformations-de-courbes/