4. Démonstration de la conjecture de Poincaré
À la fin du « Cinquième Complément à l'Analysis situs » (1904), Henri Poincaré pose la problématique connue depuis lors sous le nom de « conjecture de Poincaré » : caractériser la sphère parmi les espaces fermés et finis à trois dimensions (que l'on appelle des variétés compactes). Précisément, la conjecture affirme que, dans un tel espace, si toute courbe fermée peut se déformer de manière continue en un point, alors l'espace est une sphère ; un tel espace est dit simplement connexe. Ce problème a été l'une des questions les plus importantes du xxe siècle en topologie.
Grigori Perelman (né en 1966), mathématicien russe de Saint-Pétersbourg, a mis sur Internet, en 2002 et 2003, trois articles prouvant cette conjecture. La méthode, introduite par le mathématicien américain Richard S. Hamilton (né en 1943), est analytique. En un point d'une variété, on nomme espace tangent l'ensemble des vecteurs vitesse des courbes passant par ce point et on appelle forme d'une variété la donnée en chaque point d'un produit scalaire permettant de mesurer les longueurs et les angles de ces vecteurs (c'est une métrique riemannienne). Le défaut à ce que l'espace ainsi obtenu soit euclidien est mesuré par les différentes notions de courbure, la sphère ronde telle que nous la connaissons ayant une courbure constante.
La méthode mise au point par Hamilton et développée par Perelman consiste à déformer la forme d'un espace simplement connexe afin de rendre sa courbure constante ; on sait alors montrer facilement que c'est une sphère. Cela se traduit par une équation d'évolution affirmant que la dérivée temporelle de la métrique (g) est un multiple de la courbure dite de Ricci : dg/dt = – 2 Ric(g(t)). Au cours de l'évolution, des singularités apparaissent qui correspondent à des points où la courbure devient infinie positive : la métrique n'est alors plus définie. Dans le travail de Perelman, on trouve une description précise de la forme de la variété […]
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