CONTINUITÉ, mathématique

Articles

• CONTINUITÉ, mathématique

  • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  • 1 237 mots

  L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie...

• BOLZANO BERNARD (1781-1848)

  • Écrit par Jan SEBESTIK
  • 3 609 mots
  ...propriétés des fonctions continues ; ses résultats, ainsi que ses démonstrations, redécouverts par Weierstrass, sont incorporés dans nos traités d'analyse. Il précise d'abord sa définition de la continuité et les différents cas de celle-ci ; il échoue lorsqu'il veut l'étendre aux fonctions de plusieurs variables....

• CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable

  • Écrit par Roger GODEMENT
  • 10 932 mots
  • 6 médias
  Les exemples les plus simples de fonctions réglées sont les fonctions continues. On dit qu'une fonction f est continue en un point a si elle admet en ce point des valeurs limites à droite et à gauche et si de plus on a f (a − 0) = f (a) = f (a + 0). Il revient évidemment...

• COMPACITÉ, mathématique

  • Écrit par André WARUSFEL
  • 1 019 mots

  La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que...

• CONNEXITÉ, mathématique

  • Écrit par André WARUSFEL
  • 978 mots

  L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si...

• CONTINU & DISCRET

  • Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
  • 7 672 mots
  Il faut distinguer un emploi adjectival du mot continu, principalement dans la locution application continue, de son emploi substantif, lorsqu'on parle du continu. Dans le premier emploi, continu désigne un caractère de régularité : les applications continues ne prennent jamais une valeur en un...

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Écrit par André MARTINEAU, Henri SKODA
  • 8 347 mots
  ...de la réunion des Δ_t. Cela conduit à introduire la notion suivante : on dit qu'un ouvert Ω de l'espace Cⁿ satisfait à la propriété de continuité si, pour toute famille continue de disques analytiques de Cⁿ telle que le disque initial soit dans Ω ainsi que le bord de chacun des disques...

• INFINI, mathématiques

  • Écrit par Jean Toussaint DESANTI
  • 10 372 mots
  ..., la seconde le conduisit, au voisinage de la borne, à proposer l'idée, à vrai dire métaphysique, de « quantité évanouissante ». Seul le principe de continuité (c'est-à-dire ici le principe de l'invariance de la loi de la série en chacun de ses termes) assure l'unité de l'« envisagement » ordinal et...

• MÉTRIQUES ESPACES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 6 080 mots
  • 1 média
  Introduisons maintenant les voisinages pour préciser la notion de continuité. Soit E un espace métrique de distance d. On dit qu'un ensemble V ⊂ E est un voisinage d'un point x ∈ E s'il contient un ouvert contenant x ; cette notion donc est « topologique » : elle ne dépend que des...

• MONTEL PAUL (1876-1975)

  • Écrit par Pierre LELONG
  • 1 016 mots

  Mathématicien français né à Nice et mort à Paris. À dix-huit ans, Paul Montel entre à l'École normale supérieure. Il sera, dans la promotion 1894, le condisciple de Paul Langevin et d'Henri Lebesgue, qui tous deux demeureront ses amis. Après l'agrégation et le service militaire à...

• NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par Robert ROLLAND, Jean-Luc VERLEY
  • 5 845 mots
  Soit E et F des espaces vectoriels normés sur K (égal à R ou C) et :

  

  une application linéaire, c'est-à-dire telle que :

  

  quels que soient x, y ∈ E et λ, μ ∈ K. Les trois conditions suivantes, apparemment de plus en plus fortes, sont en fait équivalentes :

• TOPOLOGIE - Topologie générale

  • Écrit par Claude MORLET
  • 4 161 mots
  • 3 médias

  Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur...