COMPACITÉ, mathématique
La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté nécessaire aux infiniment petits du xviiie siècle.
Il existe de nombreuses définitions équivalentes de la proposition « A est une partie compacte de l'ensemble ℝ des nombres réels ». Celle-ci est certainement la plus simple : A est compacte si, et seulement si, toute fonction continue définie sur A et à valeurs réelles est bornée.
Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x. En revanche, toute partie bornée et fermée de ℝ est compacte, et ce sont d'ailleurs les seules (rappelons que A est fermée si, et seulement si, elle contient les limites des suites convergentes définies à partir d'éléments de A).
Qu'être bornée et fermée soient deux conditions nécessaires pour qu'une partie soit compacte résulte aussitôt de la définition (considérer les fonctions définies par |x – a| et 1 /|x – a| où a est un nombre convenable). La réciproque est vraie, comme on vient de le dire : elle se démontre assez facilement par dichotomie. S'il existait une fonction f continue et non bornée de A dans ℝ, on pourrait construire une suite de segments emboîtés Sn dont la largeur tendrait vers 0 sur lesquels f ne serait pas bornée, ce qui contredirait la continuité de f au point commun à tous les segments Sn. L'exemple le plus simple de compact réel est donc le segment[a, b], ensemble des réels compris (au sens large) entre a et b, mais il en existe beaucoup d'autres : par exemple une réunion finie de segments, ou même l'ensemble formé de 0 et de tous les réels de la forme 1 /n où n décrit l'ensemble des entiers non nuls.
Le lien de la compacité avec la continuité est très puissant : non seulement il est clair dès la définition que nous avons choisie, mais on le voit de manière forte dans la proposition ci-dessous, qui est l'une des trois les plus utiles parmi les propriétés des compacts : toute fonction réelle continue définie sur un compact est uniformément continue. La première apparition historique de l'idée de compacité (sans que son auteur en ait sans doute eu conscience) est le théorème de Heine de 1872, qui prouve que toute fonction continue définie sur un segment est uniformément continue.
Rappelons que dire qu'une fonction f de ℝ dans ℝ est continue en un point a signifie que, pour tout réel ε > 0, il existe un réel δ > 0 tel que |f(x) – f(a)| < ε dès que x est un élément de A vérifiant l'inégalité |x – a| < δ. Bien entendu, ce nombre δ dépend à la fois de ε et de a. La continuité est dite uniforme s'il peut être choisi indépendamment de a. C'est une propriété très forte ; elle affirme que le comportement de f en un point influe puissamment sur son comportement en un point voisin : c'est exactement ce que suggère le mot compacité.
Les deux autres propriétés fondamentales de la compacité d'une partie A de ℝ sont les suivantes. La première précise la définition : non seulement une fonction continue sur A y est bornée, c'est-à-dire vérifie une inégalité de la forme |f(x)| < K pour tout x de A, mais de plus elle y admet un maximum M, c'est-à-dire une valeur M = f(a) telle qu'il n'existe aucun x vérifiant f(x) > f(a). De même, f admet un minimum m = f(b), tel que f(x) < f(b) soit impossible.
Cette propriété[...]
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- André WARUSFEL : universitaire
Classification
Autres références
-
CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable
- Écrit par Roger GODEMENT
- 10 932 mots
- 6 médias
...extrémités : l'intervalle[a, b]est l'ensemble des nombres x tels que a ≤ x ≤ b, l'intervalle[a, b[ est formé des x tels que a ≤ x < b, etc. Les intervalles de la forme[a, b]sont dits compacts, et les intervalles de la forme ]a, b[ sont dits ouverts. -
FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
- Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
- 18 453 mots
- 6 médias
Pourétudier les solutions d'une équation du type f (x) = b, où f est une application continue d'un espace métrique compact K dans un espace de Banach E et où b est un élément donné de E, on construit une suite (xn) de solutions approchées, c'est-à-dire telles que f ... -
HARMONIQUE ANALYSE
- Écrit par René SPECTOR
- 5 540 mots
Parmi les groupes topologiques, ceux qui sont localement compacts (cette classe contient, entre autres, les groupes de Lie) possèdent une propriété analogue. -
MÉTRIQUES ESPACES
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 6 080 mots
- 1 média
On ditqu'un espace métrique E est compact si, pour toute famille d'ouverts de E dont la réunion est égale à E, il existe une sous-famille finie possédant cette propriété. Ainsi, tout fermé borné C de Rn, muni de la distance induite par celle de Rn, est un espace métrique compact (car...