COMPACITÉ, mathématique

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La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté nécessaire aux infiniment petits du xviiie siècle.

Il existe de nombreuses définitions équivalentes de la proposition « A est une partie compacte de l'ensemble ℝ des nombres réels ». Celle-ci est certainement la plus simple : A est compacte si, et seulement si, toute fonction continue définie sur A et à valeurs réelles est bornée.

Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x. En revanche, toute partie bornée et fermée de ℝ est compacte, et ce sont d'ailleurs les seules (rappelons que A est fermée si, et seulement si, elle contient les limites des suites convergentes définies à partir d'éléments de A).

Qu'être bornée et fermée soient deux conditions nécessaires pour qu'une partie soit compacte résulte aussitôt de la définition (considérer les fonctions définies par |xa| et 1 /|xa| où a est un nombre convenable). La réciproque est vraie, comme on vient de le dire : elle se démontre assez facilement par dichotomie. S'il existait une fonction f continue et non bornée de A dans ℝ, on pourrait construire une suite de segments emboîtés Sn dont la largeur tendrait vers 0 sur lesquels f ne serait pas bornée, ce qui contredirait la continuité de f au point commun à tous les segments Sn. L'exemple le plus simple de compact réel est donc le segment [ab], ensemble des réels compris (au sens large) entre a et b, mais il en existe beaucoup d'autres : par exemple une réunion finie de segments, ou même l'ensemble formé de 0 et de tous les réels de la forme 1 /nn décrit l'ensemble des entiers non nuls.

Le lien de la compacité avec la continuité est très puissant : non seulement il est clair dès la définition que nous avons choisie, mais on le voit de manière forte dans la proposition ci-dessous, qui est l'une des trois les plus utiles parmi les propriétés des compacts : toute fonction réelle continue définie sur un compact est uniformément continue. La première apparition historique de l'idée de compacité (sans que son auteur en ait sans doute eu conscience) est le théorème de Heine de 1872, qui prouve que toute fonction continue définie sur un segment est uniformément continue.

Rappelons que dire qu'une fonction f de ℝ dans ℝ est continue en un point a signifie que, pour tout réel ε > 0, il existe un réel δ > 0 tel que |f(x) – f(a)| < ε dès que x est un élément de A vérifiant l'inégalité |x – a| < δ. Bien entendu, ce nombre δ dépend à la fois de ε et de a. La continuité est dite uniforme s'il peut être choisi indépendamment de a. C'est une propriété très forte ; elle affirme que le comportement de f en un point influe puissamment sur son comportement en un point voisin : c'est exactement ce que suggère le mot compacité.

Les deux autres propriétés fondamentales de la compacité d'une partie A de ℝ sont les suivantes. La première précise la définition : non seulement une fonction continue sur A y est bornée, c'est-à-dire vérifie une inégalité de la forme |f(x)| < K pour tout x de A, mais de plus elle y admet un maximum M, c'est-à-dire une valeur M = f(a) telle qu'il n'existe aucun x vérifiant f(x) > f(a). De même, f admet un minimum m = f(b), tel que f(x) < f(b) soit impossible.

Cette propriété d'existence est essentielle : les textes mathématiques utilisent sans cesse la formulation « par compacité, il existe un a tel que f(a) soit maximum ». Malheureusement, ce théorème n'est pas constructif, car il ne donne aucun moyen d'obtenir ne fût-ce qu'une valeur approchée de ce nombre a.

La dernière propriété fondamentale de la compacité consiste en ce que l'on appelle la propriété de Bolzano-Weierstrass : étant donné une suite (an) d'éléments de A, il existe un nombre L et une fonction strictement croissante g de ℝ dans ℝ telle que la suite (bn) définie par bn = ag(n) converge vers L. C'est d'ailleurs aussi une condition nécessaire et suffisante de compacité.

Citons encore deux propriétés intéressantes, faciles à déduire de ce qui précède : l'image continue [...]

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Pour citer l’article

André WARUSFEL, « COMPACITÉ, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/compacite-mathematique/