MONTEL PAUL (1876-1975)

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Mathématicien français né à Nice et mort à Paris. À dix-huit ans, Paul Montel entre à l'École normale supérieure. Il sera, dans la promotion 1894, le condisciple de Paul Langevin et d'Henri Lebesgue, qui tous deux demeureront ses amis. Après l'agrégation et le service militaire à Nice, Paul Montel est professeur de mathématiques spéciales à Poitiers (1898-1901). Sa thèse de doctorat mûrit lentement au cours d'un séjour (1901-1904) à la fondation Thiers et, en 1907, il est reçu docteur ès sciences. Après un passage au lycée de Nantes (1904-1907), il poursuit sa carrière d'enseignant dans la classe de spéciales créée au lycée Buffon à Paris (1907-1911). Enfin, il devient maître de conférences à la Sorbonne, tout en conservant un enseignement à l'École des beaux-arts. Il reçoit une chaire en 1922. Il termine sa carrière en 1946 comme doyen de la faculté des sciences. Il était membre de la section de géométrie de l'Académie des sciences depuis 1937.

L'œuvre de Montel a son point de départ dans l'étude des familles de fonctions de variables réelles qui sont également continues. Une suite de fonctions continues fn(t) qui converge en tout point du segment 0 < t < 1 n'a pas en général une limite continue, mais il en est ainsi si les fn sont également continues ou si la convergence est uniforme.

L'étude des suites de fonctions continues avait été faite par René Baire, lui-même au courant des travaux faits en Italie. Mais, comme l'écrit Paul Montel dans sa Notice de 1933, « on peut penser que la notion d'égale continuité due à Ascoli faisait figure au début du siècle de curiosité mathématique ». Paul Montel a eu le mérite et la chance d'appliquer la notion à l'étude des fonctions analytiques d'une variable complexe. Dans ce cas, les fonctions bornées en module forment des familles également continues.

De là est née la notion de « famille normale ». En dehors des ensembles bornés de nombres et de l'application du théorème de Bolzano-Weierstrass, on connaissait alors peu d'ensembles compacts, c'est-à-dire tels que tout sous-ensemble infini renferme une suite convergente. Paul Montel, dans un domaine D du plan, étudie les familles de fonctions holomorphes, dont toute sous-famille contient une suite uniformément convergente au voisinage de chaque point de D, et il appelle famille normale dans D une telle famille de fonctions. Il s'attache à la recherche de critères de normalité. C'est avec une grande virtuosité qu'il applique cette notion à l'analyse complexe : utilisation du théorème de Picard sur les valeurs exceptionnelles des fonctions méromorphes ; application à la représentation conforme puis, en concurrence avec Pierre Fatou et Gaston Julia, à l'itération des fractions rationnelles, étude des familles quasi normales. La méthode révèle l'existence de constantes. Par exemple : une fonction méromorphe dans le cercle unité et dont la dérivée vaut 1 à l'origine recouvre un cercle de rayon R ou l'extérieur d'un cercle de rayon R—1, et l'on a R = √5—2

La localisation des racines des polynômes dont les coefficients sont dans certaines régions du plan conduit Montel à une géométrie des polynômes où sa méthode fournit des énoncés qualitatifs que d'autres mathématiciens préciseront. Son étude des combinaisons linéaires exceptionnelles des fonctions holomorphes a préparé l'étude des idéaux de fonctions analytiques. Celle qu'il a faite des fonctions univalentes et multivalentes a eu un grand retentissement, et les travaux de Biernacki, Jean Dieudonné, D.C. Spencer, Walsh et d'autres la compléteront en précisant des rayons d'univalence ou de multivalence.

Montel ne s'est pas limité aux fonctions analytiques d'une variable ; il a étudié les familles normales de fonctions harmoniques.

Ce travail l'a conduit à s'intéresser aux fonctions sous-harmoniques, que F. Riesz avait définies en 1911, et à leur parenté avec les fonctions analytiques. Par la suite, convenablement transposée aux fonctions de plusieurs variables complexes, cette idée a permis, notamment à Pierre Lelong, d'ouvrir des voies nouvelles.

En Paul Montel, le professeur et le chercheur allaient de pair : ses cours étaient préparés avec soin. Nous lui devons plusieurs monographies qui ont été très utiles à la recherche ; il a guidé ou présidé un grand nombre de thèses, parmi lesquelles celles de S. Maridelb [...]

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Pierre LELONG, « MONTEL PAUL - (1876-1975) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/paul-montel/