CONNEXITÉ, mathématique

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L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un segment. Mais la plus importante de ses propriétés est de ne pouvoir passer d'une valeur positive à une valeur négative sans s'annuler, comme Cauchy et Bolzano l'ont bien perçu dès le début du xixe siècle.

Cette propriété très intuitive vaut pour tout intervalle I, et non seulement pour les segments. Un peu plus généralement, elle peut s'énoncer sous la forme suivante : l'image d'un intervalle par une fonction continue réelle est un intervalle. La notion de partie connexe C d'un espace topologique (E, O) est une généralisation naturelle des intervalles destinée à parvenir au théorème suivant : l'image d'une partie connexe par une fonction continue est une partie connexe, conçue de manière à ce que les parties connexes de ℝ soient exactement ses intervalles, c'est-à-dire ses parties « sans trou ».

La définition choisie au début du xxe siècle est extrêmement simple : C est une partie connexe de E si elle ne peut être décomposée en deux parties complémentaires non vides, A et B, telles que la fonction de C dans ℝ définie par f(x) = 1 si x appartient à A et f(x) = 0 si x appartient à B soit continue.

En termes plus abstraits, cela signifie que, pour toute partie stricte A de C, il n'existe pas d'ouverts U et V de E tels que A soit, à la fois l'intersection de A et de U, et l'ensemble des éléments de C extérieurs à V. Autrement dit, pour toute décomposition (A, B) comme ci-dessus, il n'existe pas d'ouverts U et V de E contenant respectivement A et B et tels que l'intersection des ensembles C, U et V soit vide (que U et V soient eux-mêmes disjoints est courant, mais pas indispensable). Si E est une partie connexe de lui-même, on dit que (E, O) est un espace connexe.

Prouver qu'un connexe de ℝ est un intervalle est facile, mais la réciproque est plus [...]


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André WARUSFEL, « CONNEXITÉ, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/connexite-mathematique/