LEBESGUE HENRI (1875-1941)

L'exposition classique du calcul intégral est liée à l'idée de nombre. L'intégrale simple définie, étendue à un intervalle D(a < x < τ), est approchée par les sommes de Riemann :

Quant à l'intégrale indéfinie F, elle apparaît à Lebesgue comme « un répertoire dans lequel on peut lire n'importe quelle intégrale définie » par la formule :

Pour une interprétation plus profonde qui permette l'extension à des ensembles très généraux, Lebesgue dissocie nettement les trois rôles que joue l'abscisse x dans la formule (1).

1. Détermination du domaine D, ensemble de points et des sous-ensembles δ_i,

2. Détermination d'un point P_i, élément de chaque δ_i,

3. Introduction d'une mesure μ_i de ces sous-ensembles δ_i.

La somme prend la forme :

et la limite Φ(D) de cette somme, quand elle existe, est une fonction de domaine, intégrale de la fonction de point f (P).

À un domaine déterminé correspond l'intégrale définie. Le domaine D étant variable, Lebesgue nomme intégrale indéfinie « la correspondance entre un domaine et l'intégrale définie correspondante ».

Inversement, la dérivation d'une fonction numérique Φ(D) de domaine consiste, un point du domaine P étant choisi, à l'entourer d'un petit domaine δ de mesure μ et à chercher la limite du rapport Φ (δ)/μ quand μ tend vers zéro. Plus généralement, si Φ et Ψ sont deux fonctions de domaine, la limite (si elle existe) du rapport Φ(δ)/Ψ(δ) est la valeur en P de la fonction de point f (P), dér [...]