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LEBESGUE HENRI (1875-1941)

Le mathématicien Henri Lebesgue est l'un des fondateurs de l'analyse moderne. Presque tous ses travaux se rattachent à la théorie des fonctions de variables réelles. Sa conception de l' intégration et de la mesure renouvelle l'étude des problèmes classiques et ouvre les voies de l'analyse fonctionnelle moderne.

Associant la hardiesse du novateur à la conscience de l'évolution de la mathématique, Lebesgue eut une vue lucide de la place de son œuvre dans cette histoire des sciences dont l'étude fut pour lui occasion de mieux comprendre la nature des questions et source d'inspiration.

Intégration et théorie des ensembles

L'exposition classique du calcul intégral est liée à l'idée de nombre. L'intégrale simple définie, étendue à un intervalle D(a < x < τ), est approchée par les sommes de Riemann :

Quant à l'intégrale indéfinie F, elle apparaît à Lebesgue comme « un répertoire dans lequel on peut lire n'importe quelle intégrale définie » par la formule :

Pour une interprétation plus profonde qui permette l'extension à des ensembles très généraux, Lebesgue dissocie nettement les trois rôles que joue l'abscisse x dans la formule (1).

1. Détermination du domaine D, ensemble de points et des sous-ensembles δi,

2. Détermination d'un point Pi, élément de chaque δi,

3. Introduction d'une mesure μi de ces sous-ensembles δi.

La somme prend la forme :

et la limite Φ(D) de cette somme, quand elle existe, est une fonction de domaine, intégrale de la fonction de point f (P).

À un domaine déterminé correspond l'intégrale définie. Le domaine D étant variable, Lebesgue nomme intégrale indéfinie « la correspondance entre un domaine et l'intégrale définie correspondante ».

Inversement, la dérivation d'une fonction numérique Φ(D) de domaine consiste, un point du domaine P étant choisi, à l'entourer d'un petit domaine δ de mesure μ et à chercher la limite du rapport Φ (δ)/μ quand μ tend vers zéro. Plus généralement, si Φ et Ψ sont deux fonctions de domaine, la limite (si elle existe) du rapport Φ(δ)/Ψ(δ) est la valeur en P de la fonction de point f (P), dérivée de la fonction Φ par rapport à la fonction Ψ.

La mise en œuvre de ces conceptions exige des études préalables sur les familles de domaines auxquels on attache des mesures et une classification des fonctions de point et des fonctions de domaine. Guidé par les modèles de la physique classique, Lebesgue nomme grandeur toute fonction de domaine qui peut être considérée comme intégrale indéfinie.

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Écrit par

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • BAIRE RENÉ-LOUIS (1874-1932)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 332 mots

    Les travaux du mathématicien français René-Louis Baire portent principalement sur la théorie des fonctions de variables réelles. Ancien élève de l'École normale supérieure, Baire enseigna d'abord à l'université de Montpellier. En 1905, il vint faire au Collège de France ses célèbres ...

  • LUZIN NIKOLAÏ NIKOLAÏEVITCH (1883-1950)

    • Écrit par Jean LOUVEAUX
    • 849 mots

    Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne...

  • MESURE, mathématique

    • Écrit par André WARUSFEL
    • 1 309 mots
    ...1893, la seconde étape décisive vers la théorie moderne, lorsqu'il étend le concept peanien à celui d'étendue, couvrant déjà un champ bien plus vaste. Mais les véritables créateurs de ce qui est aujourd'hui la mesure sont ses cadets : Émile Borel, vers 1898, et surtout Henri Lebesgue en 1901....
  • RADON JOHANN (1887-1956)

    • Écrit par Jeanne PEIFFER
    • 423 mots

    Pensée abstraite et pouvoir d'adaptation fondé sur l'intuition géométrique, tel est le double talent mathématique de l'Autrichien Johann Radon, qui est aussi bien capable de créer une théorie générale ou de traiter un problème particulier.

    Né à Tetschen (Bohême), Johann...

Voir aussi