LEBESGUE HENRI (1875-1941)

Le mathématicien Henri Lebesgue est l'un des fondateurs de l'analyse moderne. Presque tous ses travaux se rattachent à la théorie des fonctions de variables réelles. Sa conception de l'intégration et de la mesure renouvelle l'étude des problèmes classiques et ouvre les voies de l'analyse fonctionnelle moderne.

Associant la hardiesse du novateur à la conscience de l'évolution de la mathématique, Lebesgue eut une vue lucide de la place de son œuvre dans cette histoire des sciences dont l'étude fut pour lui occasion de mieux comprendre la nature des questions et source d'inspiration.

Intégration et théorie des ensembles

L'exposition classique du calcul intégral est liée à l'idée de nombre. L'intégrale simple définie, étendue à un intervalle D(a < x < τ), est approchée par les sommes de Riemann :

Quant à l'intégrale indéfinie F, elle apparaît à Lebesgue comme « un répertoire dans lequel on peut lire n'importe quelle intégrale définie » par la formule :

Pour une interprétation plus profonde qui permette l'extension à des ensembles très généraux, Lebesgue dissocie nettement les trois rôles que joue l'abscisse x dans la formule (1).

1. Détermination du domaine D, ensemble de points et des sous-ensembles δ_i,

2. Détermination d'un point P_i, élément de chaque δ_i,

3. Introduction d'une mesure μ_i de ces sous-ensembles δ_i.

La somme prend la forme :

et la limite Φ(D) de cette somme, quand elle existe, est une fonction de domaine, intégrale de la fonction de point f (P).

À un domaine déterminé correspond l'intégrale définie. Le domaine D étant variable, Lebesgue nomme intégrale indéfinie « la correspondance entre un domaine et l'intégrale définie correspondante ».

Inversement, la dérivation d'une fonction numérique Φ(D) de domaine consiste, un point du domaine P étant choisi, à l'entourer d'un petit domaine δ de mesure μ et à chercher la limite du rapport Φ (δ)/μ quand μ tend vers zéro. Plus généralement, si Φ et Ψ sont deux fonctions de domaine, la limite (si elle existe) du rapport Φ(δ)/Ψ(δ) est la valeur en P de la fonction de point f (P), dérivée de la fonction Φ par rapport à la fonction Ψ.

La mise en œuvre de ces conceptions exige des études préalables sur les familles de domaines auxquels on attache des mesures et une classification des fonctions de point et des fonctions de domaine. Guidé par les modèles de la physique classique, Lebesgue nomme grandeur toute fonction de domaine qui peut être considérée comme intégrale indéfinie.

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