STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Processus de Markov

L'étude statistique de la succession des caractères utilisés pour composer un texte dans une langue particulière a suggéré à Markov un schéma d'enchaînement aléatoire avec liaison (par exemple, en anglais, la fréquence de la lettre h après un t est très supérieure à ce qu'elle est après un d).

Soit Xt, soit t1, t2, ..., tn, t une suite croissante d'instants, soit enfin X1, X2, ..., Xn, X les valeurs aléatoires correspondantes, la loi conditionnelle de X connaissant (X1, X2, ..., Xn) dépend de (tn, Xn, ), c'est-à-dire que les valeurs successives sont liées entre elles ; Markov fait l'hypothèse que la dernière valeur connue et le dernier instant résument toute l'information ; on développe plus complètement la théorie en supposant que les lois conditionnelles sont invariantes par translation sur l'échelle des temps, c'est-à-dire que :

ne dépend que de (t − tn) et de xn ; le processus de Markov est alors dit homogène dans le temps. Deux cas sont à considérer relativement à l'ensemble T des instants : T est dénombrable (processus discret ou suite de Markov) ; T est continu (processus permanent). De plus, trois cas sont à distinguer relativement à l'ensemble E des valeurs possibles de X (états du système) : cas fini E = {1, 2, ..., k} ; cas dénombrable E = N ; cas continu E = R.

Cas fini

Considérons le cas où E = {1, 2, ..., k} et T = {t1, t2, ..., tn, ...}. Il suffit de donner la loi initiale des états, c'est-à-dire le vecteur colonne P0 de composantes p0h = p{X0 = h}, pour h = 1, 2, ..., k, et la matrice carrée, d'ordre k, M = ∥pij∥, où :

La matrice M est dite matrice de Markov ou matrice des probabilités de passage. La loi des états à la date n est définie par le vecteur Pn de composantes :

tel que Pn = MnP0.

La matrice carrée d'ordre k des probabilités de passage entre t et t + n est indépendante de t et vaut :

Le problème le plus important concerne le comportement limite, pour n infini, de Mn et de Pn. La solution complète de ce problème est obtenue par l'analyse spectrale de l'opérateur linéaire M (cf. théor [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 8 pages



Écrit par :

Classification


Autres références

«  STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES  » est également traité dans :

HASARD

  • Écrit par 
  • Bertrand SAINT-SERNIN
  •  • 6 801 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Imprévisibilité et mathématisation »  : […] La distinction précédente entre concept mathématique et notion empirique d'aléa fournit un premier sens du mot hasard : on dira que des événements se produisent par hasard, quand le calcul a priori des probabilités permet de spécifier leurs chances respectives d'apparition. Pour que cette application des probabilités à des événements réels soit possible, il faut que l'on puisse adapter à des cas c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/hasard/#i_15926

HYDROLOGIE

  • Écrit par 
  • Pierre HUBERT, 
  • Gaston RÉMÉNIÉRAS
  •  • 9 869 mots
  •  • 12 médias

Dans le chapitre « Les modèles mathématiques »  : […] L'évolution de l'hydrologie au cours des dernières décennies a été marquée par l'introduction de l'informatique. Cette dernière a d'abord permis, et permet toujours, la réalisation rapide, économique et sûre de tâches traditionnelles de collecte, de stockage, d'édition et de traitement des volumineuses données hydrologiques. Mais l'informatique a également permis de mettre en scène et d'animer l'i […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/hydrologie/#i_15926

ITŌ KIYOSHI (1915-2008)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 791 mots

Né à Hokusei (aujourd'hui Inabe) dans une région rurale à l'ouest de Nagoya le 7 septembre 1915, le mathématicien Itō Kiyoshi est décédé à Kyōto le 10 novembre 2008. Reconnu comme le fondateur du calcul stochastique, il a profondément renouvelé l'étude mathématique des probabilités. Considéré par certains comme le plus grand probabiliste du xx e […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ito-kiyoshi/#i_15926

KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 416 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Calcul des probabilités »  : […] Le nom de Kolmogorov est associé principalement au calcul des probabilités. Depuis les premiers travaux de Tchebychev, ce domaine était un sujet de prédilection de l'école mathématique russe. Les motivations de ce dernier, de Liapounov, de Markov, de Bernstein et de bien d'autres avaient été essentiellement d'établir des énoncés de plus en plus rigoureux des lois limites sous des conditions préci […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andrei-nikolaievitch-kolmogorov/#i_15926

LÉVY PAUL (1886-1971)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 508 mots

Mathématicien français né et mort à Paris. Ingénieur au corps des Mines, docteur ès sciences en 1912, Paul Lévy enseigna l'analyse à l'École polytechnique de 1920 à 1959, ainsi que l'analyse et la mécanique à l'École nationale supérieure des mines de 1914 à 1951. Il fut élu à l'Académie des sciences en 1964. De 1905 à 1951, il publia dix ouvrages et quelque deux cent soixante-dix articles, dont pl […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/paul-levy/#i_15926

MARKOV ANDREÏ ANDREÏEVITCH (1856-1922)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 361 mots

Mathématicien russe né à Riazan et mort à Petrograd. Andreï Andreïevitch Markov est connu comme un spécialiste de la théorie des nombres, de la théorie des probabilités et de l'analyse mathématique. Issu d'une famille d'un petit fonctionnaire du gouvernement, il fait ses études à l'université de Saint-Pétersbourg et reçoit une médaille d'or pour son mémoire […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andrei-andreievitch-markov/#i_15926

MARTINGALES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Pierre CRÉPEL, 
  • Jean MEMIN, 
  • Albert RAUGI
  •  • 8 663 mots
  •  • 2 médias

Le mot « martingale » évoque l'idée d'une stratégie pour gagner aux jeux de hasard. Cette notion tient une place essentielle dans toute la théorie des probabilités et s'est révélée être un langage très riche dans de nombreux domaines des mathématiques ; mais ce rôle n'est apparu que tout récemment. Au xvi e  siècle, ce mot (qui proviendrait du pro […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-martingales/#i_15926

OPTIMISATION & CONTRÔLE

  • Écrit par 
  • Ivar EKELAND
  •  • 5 243 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Contrôle optimal »  : […] Un problème de contrôle optimal est un problème d'optimisation doté d'une structure temporelle. À tout instant t , il s'agit de choisir un contrôle u ( t ) – on dit aussi une commande – dont dépendra l'état x ( t ) du système par l'intermédiaire d'une loi d'évolution prescrite. On s'arrête […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/optimisation-et-controle/#i_15926

POPULATIONS ANIMALES (DYNAMIQUE DES)

  • Écrit par 
  • Robert BARBAULT, 
  • Jean-Dominique LEBRETON
  •  • 12 014 mots
  •  • 15 médias

Dans le chapitre « Variabilité des populations naturelles »  : […] En réaction contre les théoriciens de la régulation densité-dépendante, divers entomologistes empiristes, tels Bodenheimer et Uvarov, soulignèrent, dans les années 1920 à 1930, la primauté des facteurs physiques, notamment climatiques, dans les fluctuations d'abondance de nombreux insectes. Ce point de vue fut repris et précisé par H. G. Andrewartha et L. C. Birch (1954), au moment même où David L […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/animal-dynamique-des-populations/#i_15926

Voir aussi

Pour citer l’article

Maurice GIRAULT, « STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/stochastiques-processus-aleatoires/