STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Processus laplaciens

On appelle un ensemble de variables aléatoires {X1, X2, ..., Xn} ensemble laplacien si, et seulement si, toute forme linéaire de ces variables, c'est-à-dire toute variable aléatoire Z = ΣaiXi, obéit à une loi de Laplace-Gauss. Dans ces conditions, chaque variable aléatoire Xi obéit à une loi de Laplace-Gauss ; soit mi = E(Xi) sa valeur moyenne.

La loi jointe de l'ensemble {Xi} est de la forme :

Y est le vecteur colonne de composantes {(xi − mi)} et Y′ le transposé ; H est la matrice n × n des variances et covariances :

La loi de l'ensemble est donc complètement définie par la donnée des moments du premier et du second ordre de l'ensemble des variables.

On dit qu'un processus Xt est un processus laplacien si pour tout k, quels que soient t1, t2, ..., tk, l'ensemble aléatoire correspondant {X1, X2, ..., Xk} est un ensemble laplacien.

La loi temporelle du processus est définie par deux fonctions certaines du temps, la valeur moyenne :

et la fonction de covariance :

Toute forme linéaire à coefficients constants de Xt est une variable aléatoire laplacienne (ou normale). L'ensemble de ces formes est un espace vectoriel qu'on peut munir d'un produit intérieur (espérance du produit) : on obtient alors un espace préhilbertien. On peut l'orthogonaliser selon le procédé de Schmidt (cf. théorie spectrale) ; des variables laplaciennes orthogonales sont indépendantes. On peut aussi représenter tout ensemble de valeurs Y1, Y2, ... à partir de variables indépendantes laplaciennes U1, U2, ... selon un développement du type suivant, dit développement canonique de Paul Lévy.

Processus stationnaires

Si, quels que soient t et t′, le nombre Γ(t + h, t′ + h) est indépendant de h, on dit que le processus est stationnaire ; la fonction de covariance ne dépend plus alors que d'une seule variable h = t − t′. On pose :

Toute fonction γ(θ) ainsi obtenue est de type non négatif, et S. Bochner a montré, en 1932, que, si γ(θ) est continue à l'origine, elle est continue partout, et il existe une fonction à valeurs réelles A(ω) monotone croissante et à variation bornée telle que :

la f [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 8 pages

Écrit par :

Classification

Autres références

«  STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES  » est également traité dans :

HASARD

  • Écrit par 
  • Bertrand SAINT-SERNIN
  •  • 6 801 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Imprévisibilité et mathématisation »  : […] La distinction précédente entre concept mathématique et notion empirique d'aléa fournit un premier sens du mot hasard : on dira que des événements se produisent par hasard, quand le calcul a priori des probabilités permet de spécifier leurs chances respectives d'apparition. Pour que cette application des probabilités à des événements réels soit possible, il faut que l'on puisse adapter à des cas c […] Lire la suite

HYDROLOGIE

  • Écrit par 
  • Pierre HUBERT, 
  • Gaston RÉMÉNIÉRAS
  •  • 9 869 mots
  •  • 12 médias

Dans le chapitre « Les modèles mathématiques »  : […] L'évolution de l'hydrologie au cours des dernières décennies a été marquée par l'introduction de l'informatique. Cette dernière a d'abord permis, et permet toujours, la réalisation rapide, économique et sûre de tâches traditionnelles de collecte, de stockage, d'édition et de traitement des volumineuses données hydrologiques. Mais l'informatique a également permis de mettre en scène et d'animer l'i […] Lire la suite

ITŌ KIYOSHI (1915-2008)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 791 mots

Né à Hokusei (aujourd'hui Inabe) dans une région rurale à l'ouest de Nagoya le 7 septembre 1915, le mathématicien Itō Kiyoshi est décédé à Kyōto le 10 novembre 2008. Reconnu comme le fondateur du calcul stochastique, il a profondément renouvelé l'étude mathématique des probabilités. Considéré par certains comme le plus grand probabiliste du xx e  siècle, Itō a reçu en 2006 le premier prix Gauss, […] Lire la suite

KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 416 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Calcul des probabilités »  : […] Le nom de Kolmogorov est associé principalement au calcul des probabilités. Depuis les premiers travaux de Tchebychev, ce domaine était un sujet de prédilection de l'école mathématique russe. Les motivations de ce dernier, de Liapounov, de Markov, de Bernstein et de bien d'autres avaient été essentiellement d'établir des énoncés de plus en plus rigoureux des lois limites sous des conditions préci […] Lire la suite

LÉVY PAUL (1886-1971)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 508 mots

Mathématicien français né et mort à Paris. Ingénieur au corps des Mines, docteur ès sciences en 1912, Paul Lévy enseigna l'analyse à l'École polytechnique de 1920 à 1959, ainsi que l'analyse et la mécanique à l'École nationale supérieure des mines de 1914 à 1951. Il fut élu à l'Académie des sciences en 1964. De 1905 à 1951, il publia dix ouvrages et quelque deux cent soixante-dix articles, dont pl […] Lire la suite

MARKOV ANDREÏ ANDREÏEVITCH (1856-1922)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 361 mots

Mathématicien russe né à Riazan et mort à Petrograd. Andreï Andreïevitch Markov est connu comme un spécialiste de la théorie des nombres, de la théorie des probabilités et de l'analyse mathématique. Issu d'une famille d'un petit fonctionnaire du gouvernement, il fait ses études à l'université de Saint-Pétersbourg et reçoit une médaille d'or pour son mémoire De l'intégration des équations différen […] Lire la suite

MARTINGALES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Pierre CRÉPEL, 
  • Jean MEMIN, 
  • Albert RAUGI
  •  • 8 663 mots
  •  • 2 médias

Le mot « martingale » évoque l'idée d'une stratégie pour gagner aux jeux de hasard. Cette notion tient une place essentielle dans toute la théorie des probabilités et s'est révélée être un langage très riche dans de nombreux domaines des mathématiques ; mais ce rôle n'est apparu que tout récemment. Au xvi e  siècle, ce mot (qui proviendrait du provençal martegalo , du nom de la ville de Martigues) […] Lire la suite

OPTIMISATION & CONTRÔLE

  • Écrit par 
  • Ivar EKELAND
  •  • 5 243 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Contrôle optimal »  : […] Un problème de contrôle optimal est un problème d'optimisation doté d'une structure temporelle. À tout instant t , il s'agit de choisir un contrôle u ( t ) – on dit aussi une commande – dont dépendra l'état x ( t ) du système par l'intermédiaire d'une loi d'évolution prescrite. On s'arrête dès qu'un certain objectif est atteint, par exemple au bout d'un temps donné, et on fait les comptes. Le prob […] Lire la suite

POPULATIONS ANIMALES (DYNAMIQUE DES)

  • Écrit par 
  • Robert BARBAULT, 
  • Jean-Dominique LEBRETON
  •  • 12 014 mots
  •  • 15 médias

Dans le chapitre « Variabilité des populations naturelles »  : […] En réaction contre les théoriciens de la régulation densité-dépendante, divers entomologistes empiristes, tels Bodenheimer et Uvarov, soulignèrent, dans les années 1920 à 1930, la primauté des facteurs physiques, notamment climatiques, dans les fluctuations d'abondance de nombreux insectes. Ce point de vue fut repris et précisé par H. G. Andrewartha et L. C. Birch (1954), au moment même où David L […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Maurice GIRAULT, « STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/stochastiques-processus-aleatoires/