STABILITÉ

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Exemple issu de la dynamique du solide

Un solide (S) est dit animé d'un mouvement à la Poinsot si l'un de ses points OS reste immobile dans un repère galiléen et si le moment en Os du torseur des efforts extérieurs agissant sur (S) est nul.

Lorsque le mouvement à la Poinsot d'un solide (S) se fait spontanément autour d'un axe immobile dans un repère galiléen, cet axe doit être un axe principal d'inertie de (S) au point fixé O = Os = Og, et il en résulte que le taux de rotation Ωsg est constant dans (S) et dans (g). Inversement, une rotation est un mouvement à la Poinsot si et seulement si c'est une rotation uniforme autour d'un axe principal d'inertie en O. Ainsi :

– dans le cas où A, B, C (moments d'inertie par rapport aux trois axes principaux en O) sont tous différents, on trouve les rotations uniformes autour de l'un des trois axes principaux Oxs, Oys, Ozs ;

– dans le cas où A = B ≠ C, on trouve les rotations uniformes autour de Ozs et les rotations uniformes autour d'un axe quelconque perpendiculaire en O à Ozs ;

– dans le cas où A = B = C, on trouve les rotations uniformes autour de n'importe quel axe passant par O.

Supposons donc que (S) soit animé d'une rotation uniforme de vitesse angulaire ω autour d'un de ses axes principaux. Désignons cet axe par Ous, lié à (S), et soit ug la position qu'il conserve dans le galiléen au cours de la rotation considérée. On fait l'hypothèse qu'entre deux dates t0 et t1 une perturbation (percussion, par exemple) intervient à l'issue de laquelle (S) est de nouveau animé d'un mouvement à la Poinsot. Si la perturbation est assez faible pour qu'à la date t1 l'axe Ous soit encore voisin de Oug et Ωsg voisin de ωus, on doit se demander si le mouvement ultérieur laissera Ous voisin de Oug et Ωsg voisin de ωus.

Dans le cas où A > B > C, la réponse est affirmative si Ous est soit Oxs, soit Ozs (c'est-à-dire l'axe principal de plus grand ou de plus petit moment d'inertie) ; la réponse est négative si Ous est Oys (c'est-à-dire l'axe principal de moment d'inertie intermédiaire). Ces résultats proviennent de la représentation de Poinsot : si la perturbation s'exerce sur une rotation autour de Oxs (ou Ozs), l'axoïde lié au solide (S) est un cône de sommet O s'appuyant sur la polhodie, qui est dans ce cas un petit ovale entourant l'axe Oxs (ou Ozs), et par suite Ωsg reste voisin de ωus, et us reste voisin de ug. Il n'en est pas de même si la perturbation s'exerce sur une rotation autour de Oys ; car, dans ce cas, l'axoïde lié au solide est défini par une polhodie qui longe les ellipses limites, ou se situe sur une demi-ellipse limite.

Demi-ellipse limite

Dessin : Demi-ellipse limite

 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Dans le cas où A = B ≠ C, on voit que la réponse est affirmative si l'axe Ous est Ozs, et qu'elle est négative si Ous est perpendiculaire à Ozs.

Précisons la formulation des énoncés précédents : le fait que les axes Ous et Oug sont voisins doit être exprimé en majorant leur angle géométrique (c'est-à-dire à valeur dans [0, π]) ; le fait que Ωsg est voisin de ωus doit être exprimé en majorant |Ωsg − ωus|. Ainsi, soit la propriété suivante : quel que soit α > 0, on peut lui associer η > 0 tel que les inégalités :

vérifiées à la date t1, assurent pour t ≥ t1 :

On exprime cette propriété en disant que les rotations uniformes correspondantes sont stables. L'instabilité consiste dans la négation de cette propriété.

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Demi-ellipse limite

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Centre d'inertie d'un solide

Centre d'inertie d'un solide
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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, « STABILITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 janvier 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/stabilite/