PERCOLATION

La percolation est un problème de communication qui se pose dans un milieu étendu dans lequel sont distribués régulièrement un grand nombre de « sites » susceptibles de relayer localement une information. Ceux-ci communiquent entre eux par des liens dont l'efficacité est aléatoire. Suivant que la proportion de liaisons actives est ou non supérieure à une valeur seuil, il existe ou non une possibilité de transmettre l'information à grande distance.

La caractéristique de la percolation réside dans le fait qu'il s'agit d'un phénomène critique : au-dessous du seuil, une information reste confinée dans le petit îlot où elle est née ; sitôt dépassé le seuil, l'information « percole » et se retrouve aussi loin de son point de départ qu'on aille la chercher. Le terme information est pris ici dans son sens le plus large ; il peut s'agir d'une propriété physique ou biologique aussi bien que d'un fluide. Le mot percolation a été introduit par le mathématicien anglais J. M. Hammersley en 1957 pour décrire le passage d'un fluide à travers un milieu poreux. Il est également employé, dans un sens très différent de celui que nous lui donnons ici, en géochimie et en génie chimique pour définir des processus comportant des échanges entre un fluide et le milieu traversé.

L'établissement, en 1969, par P. W. Kasteleyn et C. M. Fortuin d'un théorème permettant une correspondance rigoureuse entre les grandeurs de la percolation et celles des transitions de phase la fait entrer dans le cadre de ces dernières et lui offre le bénéfice des nombreux résultats obtenus dans ce domaine.

La percolation permet de décrire un grand nombre de phénomènes physiques, biologiques ou sociologiques au moyen des mêmes concepts géométriques et statistiques.

Modèles

Un système de communication rapide à grande distance peut être constitué par un réseau de stations, placées sur des hauteurs, à partir desquelles des opérateurs relaient des signaux optiques. Chaque station est en vue de plusieurs autres. L'ennemi fondamental du système est le manque de visibilité pour cause météorologique, coupant le lien entre deux stations. Dans ce cas, il est encore possible de faire passer le signal entre des points très éloignés en utilisant des chemins détournés, mais il est nécessaire, pour cela, que le pourcentage de liens actifs soit supérieur au seuil de percolation. Le problème ainsi décrit ne concerne que les liens entre stations, c'est le problème de la percolation de lien. Mais il est également possible d'envisager une situation de temps clair généralisé dans laquelle certains observateurs seraient distraits ou... endormis. Le problème ainsi posé est celui de la percolation de site. Il présente aussi un seuil, qui est dans ce cas le pourcentage de sites actifs en dessous duquel l'information ne percole pas d'un bout à l'autre du réseau. La réalité tient à la fois de l'un et de l'autre problème ; sa représentation est un graphe à deux dimensions. Il existe des cas particuliers simples où ce graphe est un réseau régulier. Celui-ci permet une simulation numérique de type Monte-Carlo du problème : il suffit de créer les liens (ou les sites) avec une probabilité p et d'examiner la situation obtenue lorsque p varie de 0 à 1. On observe que les sites, d'abord isolés, se groupent ensuite en doublets, triplets... puis forment des « amas » plus gros, ramifiés, lacunaires. Au seuil, quelques liens supplémentaires suffisent pour associer brusquement plusieurs de ces amas en un seul : l'amas infini, qui atteint les frontières de l'échantillon, si grand soit-il.