PERCOLATION

La percolation transition de phase

Le modèle sur réseau à deux dimensions (d = 2) est schématique. Un problème de percolation se définit plus généralement dans un espace à d dimensions pour un milieu hétérogène composé d'éléments de propriétés très différentes et montrant, à grande échelle, un comportement homogène original caractérisé par :

– L'existence d'un seuil, qui dépend du problème et du réseau.

– L'existence d'une échelle de longueur caractéristique grande devant le pas du réseau. Au-dessous du seuil, un parachutiste largué sur un site actif et passant de site actif en site actif restera toujours à une distance finie de son point de départ. Au contraire, au seuil, il pourra s'éloigner infiniment. Son rayon d'action est caractérisé par la longueur de corrélation ξ ; celle-ci devient infinie au seuil, dans le voisinage duquel elle suit une loi de variation critique : ξ ≃ ξ₀|p − p_c|^-ν.

À cette connexion entre sites très éloignés, il est possible d'associer, dans un aimant, l'ordre à grande distance de l'orientation des moments magnétiques en dessous de la température de Curie T_C. Dans ce cas, le paramètre d'ordre est l'aimantation M qui, au voisinage de T_C, a une variation critique M = M₀(T_C − T)^β. On lui fait correspondre, en percolation, la proportion de sites actifs contenus dans l'amas infini : P = B(p − p_C)^β. Elle s'exprime au moyen du premier moment de la distribution statistique des amas. Il existe des analogies équivalentes pour les autres moments.

Les exposants critiques, ν, β, ..., qui décrivent les comportements singuliers dans la transition de percolation, sont universels. Ils ne dépendent pas des caractères locaux du problème (réseau, désordre...), puisqu'on doit effectuer la moyenne sur la taille caractéristique ξ, mais seulement de la dimension de l'espace où on le définit (en percolation à d = 2, β = 0,14, ν = 4/3, et à d = 3, β = 0,4, ν = 0,8).

Les modèles se sont affinés et multipliés au cours du temps. En percolation corrélée, l'activité d'un site ou d'un lien n'est plus indépendante de celle de ses voisins : un arbre dans une forêt en feu ne brûle que si plus d'un de ses voisins est en flammes. En percolation anisotrope, la probabilité d'existence des liens est plus grande dans un sens, par exemple celui du champ électrique dans certaines céramiques dont la résistance s'annule pour de fortes différences de potentiel. La percolation brassée tient compte du fait que les amas sont dynamiques : dans une suspension sous cisaillement, les amas se forment et se désagrègent continuellement.