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PERCOLATION

La percolation transition de phase

Le modèle sur réseau à deux dimensions (d = 2) est schématique. Un problème de percolation se définit plus généralement dans un espace à d dimensions pour un milieu hétérogène composé d'éléments de propriétés très différentes et montrant, à grande échelle, un comportement homogène original caractérisé par :

– L'existence d'un seuil, qui dépend du problème et du réseau.

– L'existence d'une échelle de longueur caractéristique grande devant le pas du réseau. Au-dessous du seuil, un parachutiste largué sur un site actif et passant de site actif en site actif restera toujours à une distance finie de son point de départ. Au contraire, au seuil, il pourra s'éloigner infiniment. Son rayon d'action est caractérisé par la longueur de corrélation ξ ; celle-ci devient infinie au seuil, dans le voisinage duquel elle suit une loi de variation critique : ξ ≃ ξ0|p − pc|-ν.

À cette connexion entre sites très éloignés, il est possible d'associer, dans un aimant, l'ordre à grande distance de l'orientation des moments magnétiques en dessous de la température de Curie TC. Dans ce cas, le paramètre d'ordre est l'aimantation M qui, au voisinage de TC, a une variation critique M = M0(TC − T)β. On lui fait correspondre, en percolation, la proportion de sites actifs contenus dans l'amas infini : P = B(p − pC)β. Elle s'exprime au moyen du premier moment de la distribution statistique des amas. Il existe des analogies équivalentes pour les autres moments.

Les exposants critiques, ν, β, ..., qui décrivent les comportements singuliers dans la transition de percolation, sont universels. Ils ne dépendent pas des caractères locaux du problème (réseau, désordre...), puisqu'on doit effectuer la moyenne sur la taille caractéristique ξ, mais seulement de la dimension de l'espace où on le définit (en percolation à d = 2, β = 0,14, ν = 4/3, et à d = 3, β = 0,4, ν = 0,8).

Les modèles se sont affinés et multipliés au cours du temps. En percolation corrélée, l'activité d'un site ou d'un lien n'est plus indépendante de celle de ses voisins : un arbre dans une forêt en feu ne brûle que si plus d'un de ses voisins est en flammes. En percolation anisotrope, la probabilité d'existence des liens est plus grande dans un sens, par exemple celui du champ électrique dans certaines céramiques dont la résistance s'annule pour de fortes différences de potentiel. La percolation brassée tient compte du fait que les amas sont dynamiques : dans une suspension sous cisaillement, les amas se forment et se désagrègent continuellement.

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Écrit par

  • : docteur ès sciences, maître de conférences à l'université de Provence

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

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Problèmes sur réseau carré

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Problèmes sur réseau nid d'abeille

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Autres références

  • GELS

    • Écrit par Mireille ADAM, Michel DELSANTI
    • 3 378 mots
    • 4 médias
    ...interprétée par deux approches théoriques : l'une est une théorie de champ moyen, l'autre une théorie de phénomène critique qui est fondée sur une analogie percolation-gélification (voir : P. G. de Gennes, « La Percolation : un concept unificateur », in La Recherche, vol. VII, no 72, 1976). Si la...
  • GENNES PIERRE-GILLES DE (1932-2007)

    • Écrit par Étienne GUYON
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    ...dans des milieux poreux. De ces phénomènes naturels, il donnera à chaque fois des modèles simples. Un exemple de telles approches est la théorie de la percolation, dont il est le co-inventeur avec le mathématicien britannique J. M. Hammersley, qui décrit la façon dont se structure progressivement un réseau...
  • GUYON ÉTIENNE (1935-2023)

    • Écrit par Pierre-Gilles DE GENNES, Universalis
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    Le physicien français Étienne Guyon est né le 31 mars 1935 à Paris. Il est normalien, formé d'abord par André Guinier dans le domaine de la physique des rayons X, en 1958. Parti ensuite pour les États-Unis, il travaille brièvement avec Frederic Seitz sur les défauts dans les cristaux. Revenu à Orsay...

  • MÉDAILLES FIELDS 2010

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    Décernées tous les quatre ans à, au plus, quatre mathématiciens âgés de moins de quarante ans, les médailles Fields signalent, en couronnant leurs auteurs, la plupart des avancées majeures en mathématiques pures. Les lauréats de 2010 marquent, par la diversité de leurs contributions, l'abondante production...

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