MATHÉMATIQUE

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Un langage précis d'origine éclectique

Le langage mathématique est constitué par : des symboles (lettres, chiffres et autres signes) et des combinaisons (ou assemblages) de symboles désignant des objets mathématiques ou des propositions (c'est-à-dire des énoncés de propriétés d'objets mathématiques) ; des mots et des locutions désignant des objets mathématiques ou des propriétés d'objets mathématiques qui, dotés de définitions précises, sont généralement des abréviations d'assemblages ; un « style mathématique », dont les traits les plus évidents sont l'emploi des quantificateurs universel (∀, lu « pour tout » ou « quel que soit ») et existentiel (∃, lu « il existe ») dans de nombreux assemblages et la fréquence des expressions « Soi(en)t... » et « Si ..., alors ... » dans les textes courants en français ; des abus de langage, enfin, dont certains sont bienvenus, voire obligatoires pour éviter des textes illisibles, et sont commis par tous, mais dont d'autres, plus ou moins pratiqués selon les auteurs, sont malheureux car ils nuisent à la compréhension et devraient donc être évités.

Les symboles sont variés : lettres des alphabets latin et grec surtout (et ℵ, lu « aleph », première lettre de l'alphabet hébreu), éventuellement avec des signes diacritiques (ex. : ā, lu « a barre » ; ñ, lu « n tilde »...), chiffres arabes, signes utilisés pour noter des lois de composition (ex : ∗, lu « star » ; ⊤, lu « truc » ; ⊥, lu « antitruc » ; +, lu « plus » ; ×, lu « croix » ou « multiplié par » ; ⊕, lu « plus rond » ; ⊗, lu « croix rond »...), signes particuliers (ex. : ∞, lu « infini » ;∫, lu « somme »), parenthèses, crochets, accolades, etc. Dans un même texte, l'utilisation, pour une même lettre minuscule ou majuscule, d'un caractère maigre ou gras (ou autre : ajouré...), romain ou italique, ou de polices de caractères différentes, peut être significative, c'est-à-dire permettre de désigner des objets différents (à condition que les dessins soient facilement distinguables ; ex. : A, A, A, A, A, A, A, A). Les combinaisons de symboles sont d'autant plus nombreuses qu'à chaque [...]

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  • : éditeur, diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

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Autres références

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ABEL PRIX

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  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
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Le prix international Abel pour les mathématiques, décerné depuis 2003, est la plus haute distinction dans cette science. Oscar II, roi de Suède et de Norvège, avait proposé en 1902 d'instituer ce prix en l'honneur du mathématicien norvégien Niels Henrik Abel (1802-1829), mais cette idée avait été abandonnée en 1905 lors de la désunion des deux pays. Malgré l'institution de la médaille Fields, déc […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/prix-abel/#i_26744

ALGÈBRE

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L' algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xix e  siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques et la préoccupation croissante des mathématiciens de « substituer les idée […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/#i_26744

ALGORITHMIQUE

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L'objet de l'algorithmique est la conception, l'évaluation et l'optimisation des méthodes de calcul en mathématiques et en informatique. Un algorithme consiste en la spécification d'un schéma de calcul, sous forme d'une suite d'opérations élémentaires obéissant à un enchaînement déterminé. Le terme d' algorithme tire lui-même son origine du nom du mathématicien persan Al Khwā […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algorithmique/#i_26744

ANALYSE MATHÉMATIQUE

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  • Jean DIEUDONNÉ
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L'analyse mathématique est le développement des notions et résultats fondamentaux du calcul infinitésimal. Ce dernier s'était déjà considérablement enrichi et diversifié entre les mains des mathématiciens du xviii e  siècle, avant tout Euler et Lagrange. À partir de 1800, cette diversification s'accentue encore et s'accompagne d'un nouvel état d'e […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_26744

ANALYSE NON STANDARD

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
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Au milieu du xx e  siècle, le mathématicien et logicien Abraham Robinson (1918-1974) est parvenu à refonder la notion d'infinitésimale –  de grandeur infiniment petite – dont Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) étaient supposés avoir délivré la communauté mathématique. On était d'ailleurs reconnaissant à ces derniers d'un tel […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-non-standard/#i_26744

ANNEAUX COMMUTATIFS

  • Écrit par 
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ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
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Définis par des axiomes qui dégagent les les propriétés usuelles des opérations d'addition et de multiplication dans les ensembles de nombres ou les polynômes, les anneaux constituent le cadre général dans lequel on peut appliquer les règles du calcul algébrique élémentaire. Nous donnerons dans cet article les définitions générales et des exemples. Pour une étude plus détaillée des anneaux qui int […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-et-algebres/#i_26744

APPRENTISSAGE DE LA RÉSOLUTION DE PROBLÈMES VERBAUX

  • Écrit par 
  • Catherine THEVENOT
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Un problème arithmétique verbal est un problème décrit sous la forme d’une petite histoire et dont la réponse numérique est obtenue en utilisant les données du texte. Un exemple typique de problème verbal est celui-ci :« Jean a 5 pommes et Tom en a 6. Combien Jean et Tom ont-ils de pommes ensemble ? ». Le domaine de la résolution de problèmes arithmétiques est une branche des mathématiques dans l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/apprentissage-de-la-resolution-de-problemes-verbaux/#i_26744

AXIOMATIQUE

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  • Georges GLAESER
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BADIOU ALAIN (1937- )

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Dans le chapitre « Le multiple pur »  : […] La philosophie d'Alain Badiou se présente donc comme une nouvelle doctrine de la vérité, étayée sur une théorie générale de l'événement. Mais cette pensée de l'exception, de la césure, est aussi une pensée de l'immanence radicale. En effet, les vérités (elles-mêmes multiples et non totalisables) ne sont nullement séparées du multiple, bien qu'elles ne se confondent pas avec lui. Elles coïncident a […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alain-badiou/#i_26744

BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 610 mots
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La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique , joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités) et en logique mathématique (logique algébrique, modèles booléens). On appelle algèbre de Boole ( […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre-et-anneau-de-boole/#i_26744

CALCUL, mathématique

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  • Philippe FLAJOLET
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C'est par l'utilisation de petits cailloux (caillou se dit en latin calculus ) que les jeunes Romains apprenaient à compter. Le calcul est, à l'origine, étroitement associé à la notion de nombre entier et de nombre rationnel. Étant donné un mode de représentation concret des nombres – Babyloniens, Égyptiens, Grecs, Romains, Indiens ou Chinois inventeront tour à tour un tel sy […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-mathematique/#i_26744

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par 
  • René TATON
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L'expression « calcul infinitésimal » désigne habituellement l'ensemble des notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations , tel qu'il a été mis au point au cours des xvii e et xviii e  siècles, instrument merveilleux qui ouvrit aux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-histoire/#i_26744

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable

  • Écrit par 
  • Roger GODEMENT
  •  • 11 788 mots
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Créée au xvii e siècle par Newton, Leibniz et leurs prédécesseurs immédiats, transformée au xviii e , par Euler, en un prodigieux instrument de calcul, débarrassée, sous la Restauration, de sa métaphysique par le baron Cauchy, l'analyse infinitésimale a, depuis longtemps, atteint un degré de perf […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-une-variable/#i_26744

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

  • Écrit par 
  • Georges GLAESER
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Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d'un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu'au début du xx e  siècle. Ce n'est qu'aux environs de 1930 que sont abordés les problèmes difficiles de cette branche de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-plusieurs-variables/#i_26744

CALCUL MENTAL

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  • André DELEDICQ
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Dans le chapitre « Le calcul et les mathématiciens »  : […] « Il y a trois sortes de mathématiciens : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. » Cette plaisanterie peut s'entendre bien différemment selon l'angle de la réflexion. Concernant notre sujet, elle a l'avantage de mettre l'accent sur une illusion que se font en général ceux qui ne fréquentent pas de près les mathématiques : le mathématicien n'est pas a priori un calculateur, et, conce […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-mental/#i_26744

COMBINATOIRE ANALYSE

  • Écrit par 
  • Dominique FOATA
  •  • 5 830 mots
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L'analyse combinatoire est l'ensemble des techniques qui servent, en mathématiques, à compter (ou dénombrer ) certaines structures finies , ou à les énumérer (établir des listes exhaustives de structures considérées), enfin à démontrer leur existence pour certaines valeurs des paramètre […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-combinatoire/#i_26744

COMPACITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 053 mots

La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté nécessaire aux infiniment petits du […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/compacite-mathematique/#i_26744

COMPLEXITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 627 mots

Au cœur de l'informatique théorique, la théorie du calcul – ou théorie de la calculabilité – née dans la décennie 1930 des travaux de Kurt Gödel (1906-1978), Alan Turing (1912-1954) et Alonzo Church (1903-1995), répond à des questions sur ce qui est faisable dans l'absolu par le calcul avec un ordinateur. Elle énonce des résultats négatifs du type : il est impossible d'écrire un programme – aussi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/complexite-mathematique/#i_26744

CONIQUES

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  • , Universalis
  •  • 5 117 mots
  •  • 14 médias

L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iii e  siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très complets : le Traité des sections coniques d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/coniques/#i_26744

CONNEXITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 002 mots

L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un segment. Mais la plus importante de ses propriétés est de ne pouvoir p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/connexite-mathematique/#i_26744

CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 434 mots

Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix e  siècle et surtout le début du xx e , on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/construction-mathematique/#i_26744

CONTINUITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 266 mots

L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie axiomatique des espaces topologiques ont été établis, c'est-à-dire en 1914. Selon Nicolas Bourbaki (pseudonyme collect […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/continuite-mathematique/#i_26744

CONVEXITÉ - Ensembles convexes

  • Écrit par 
  • Victor KLEE
  •  • 4 793 mots
  •  • 7 médias

Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexe si, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C. Par exemple, un cube est convexe, mais sa surface ne l'est pas, car elle ne contient le segment d'extrémités x et y que si […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-ensembles-convexes/#i_26744

CONVEXITÉ - Fonctions convexes

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND
  •  • 2 837 mots
  •  • 6 médias

L'étude des fonctions convexes a permis de fournir un cadre dans lequel peut se résoudre toute une classe de problèmes d'analyse fonctionnelle non linéaire ; les problèmes ainsi abordés sont des questions d'optimisation provenant de divers domaines : la mécanique, l'économie, les équations aux dérivées partielles, l'analyse numérique. Compte tenu de la difficulté d'aborder de manière un peu généra […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-fonctions-convexes/#i_26744

CORPS, mathématiques

  • Écrit par 
  • Robert GERGONDEY
  • , Universalis
  •  • 6 417 mots

La structure de corps n'est en fait qu'un cas particulier de la structure plus générale d'anneau ; en plus des axiomes généraux, on stipule que le groupe multiplicatif des éléments inversibles est le complémentaire de 0. Les corps sont donc les domaines dans lesquels les opérations habituelles du calcul sont valables, y compris la division par un élément non nul. La terminologie habituelle sous-en […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/corps-mathematiques/#i_26744

COURBES ALGÉBRIQUES

  • Écrit par 
  • Luc GAUTHIER
  •  • 4 352 mots
  •  • 8 médias

En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R 2 des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se trouvaient ainsi remplacées par une représentation paramétrique, et une élimination. L'existence de m […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/courbes-algebriques/#i_26744

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS, 
  • Martin ZERNER
  •  • 5 997 mots
  •  • 7 médias

Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « améliorer » les premières bombes atomiques, qui a fait l' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-analyse-numerique/#i_26744

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS
  •  • 10 860 mots
  •  • 3 médias

L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l' interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des événements que les équations linéaires ne […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-equations-non-lineaires/#i_26744

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
  •  • 6 318 mots
  •  • 1 média

On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, celles des équations et systèmes d'équations aux dérivées […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/#i_26744

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
  •  • 5 498 mots

Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous allons donner dans le cas linéaire se généralisent a […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-theorie-lineaire/#i_26744

DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Christian COATMELEC, 
  • Maurice ROSEAU
  • , Universalis
  •  • 12 432 mots

Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connues, très vite ce point de vue s'affirma trop étroit ; c'est qu'en effet le problème fondamental de la thé […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-differentielles/#i_26744

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, 
  • Marcel DAVID, 
  • Universalis
  •  • 6 374 mots
  •  • 1 média

Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées pour résoudre ces équations prirent un aspect vraiment arithmétique, c'est-à-dire faisant plei […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/#i_26744

DISTRIBUTIONS, mathématiques

  • Écrit par 
  • Paul KRÉE
  •  • 5 252 mots
  •  • 1 média

Il est arrivé à plusieurs reprises que certaines exigences de la physique, par exemple, aient conduit les utilisateurs des mathématiques à des « calculs » non rigoureusement justifiables au moyen des concepts mathématiques existants, mais qui traduisaient avec succès la réalité expérimentale. C'est ainsi que l'ingénieur Heaviside introduisit dans l'étude des réseaux électriques (en 1894) les règle […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/distributions-mathematiques/#i_26744

DYSCALCULIE DÉVELOPPEMENTALE

  • Écrit par 
  • Marie-Pascale NOËL
  •  • 1 159 mots

La dyscalculie développementale est une difficulté sévère de l’apprentissage des mathématiques qui n’est pas due à une déficience mentale, un déficit sensoriel ou un enseignement inapproprié. Ce trouble n’est pas non plus la conséquence d’une pathologie cérébrale acquise, sinon, on parlerait d’acalculie acquise. Entre 3 et 6 p. 100 des enfants ayant une intelligence normale présentent ce type de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/dyscalculie-developpementale/#i_26744

ÉCONOMIE (Définition et nature) - Une science trop humaine ?

  • Écrit par 
  • Bernard GUERRIEN
  •  • 4 849 mots

Dans le chapitre « Économie et mathématiques  »  : […] Les ouvrages d'économie et les revues académiques ne peuvent qu'impressionner par la place qu'y occupent les mathématiques, parfois très complexes ; les économistes sont probablement, avec les physiciens, les plus gros utilisateurs de mathématiques avancées. Il y a là de quoi surprendre : les mathématiques étant synonymes de rigueur et de précision, comment expliquer qu'elles jouent un tel rôle e […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/economie-definition-et-nature-une-science-trop-humaine/#i_26744

ÉCONOMIE (Définition et nature) - Enseignement de l'économie

  • Écrit par 
  • Jean-Marc DANIEL
  •  • 5 519 mots

Dans le chapitre «  L'institutionnalisation de la recherche en économie »  : […] La Libération est l'occasion de remettre le système d'enseignement à plat. François Perroux a créé, en 1944, le premier centre de recherche à part entière en économie, l'Institut scientifique d'économie appliquée (I.S.E.A.), qu'il transforme ensuite en I.S.M.É.A., le « M » signifiant mathématique, comme pour insister sur la nécessité d'introduire systématiquement les mathématiques dans toute appr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/economie-definition-et-nature-enseignement-de-l-economie/#i_26744

ENSEMBLES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • André ROUMANET, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 8 743 mots
  •  • 20 médias

L'algèbre des ensembles et l'étude abstraite des relations sont d'une importance croissante dans toutes les disciplines qui cherchent à s'exprimer dans un cadre rigoureux. En mathématiques, c'est l'interrogation sur les fondements de cette science, ainsi que les tentatives de formalisation des opérations logiques de la pensée qui ont conduit à l'élaboration de la théorie des ensembles ; aussi cett […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ensembles-theorie-des-theorie-elementaire/#i_26744

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
  •  • 1 488 mots

Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme B , où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables , représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equation-mathematique/#i_26744

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  •  • 5 789 mots

Dès la plus haute antiquité, on rencontre, à l'occasion de problèmes concrets, des exemples de résolution d'équations du premier et du second degré, et, jusqu'au début du xix e  siècle, l'étude des équations constitue l'unique préoccupation des algébristes. Le développement de la théorie est étroitement lié aux extensions successives de la notion […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-algebriques/#i_26744

ERGODIQUE THÉORIE

  • Écrit par 
  • Antoine BRUNEL
  •  • 3 359 mots

Ergodique vient du mot grec ἔργον qui signifie travail. C'est en effet d'un problème de mécanique que la théorie ergodique est issue. À l'origine se trouve une hypothèse de la théorie cinétique des gaz, audacieusement posée par L.  Boltzmann en 1885, qui permettait aux physiciens de résoudre une difficulté liée à l'étude des systèmes mécaniques à un très grand nombre de particules. L'importance […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-ergodique/#i_26744

ESPACE, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Marc SCHLENKER
  •  • 1 669 mots

La géométrie antique, telle qu'elle apparaît dans les Éléments d'Euclide, propose une vision formalisée de l'espace. Elle traite d'objets géométriques idéalisés – points, droites, polyèdres, sections coniques, etc. – selon leurs propriétés d'incidence et leurs mesures (longueurs, aires, volumes). La description repose sur un petit nombre de propositions admises sans discussi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espace-mathematique/#i_26744

EXPONENTIELLE & LOGARITHME

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 278 mots
  •  • 8 médias

Pour les constructeurs des premières tables, les logarithmes étaient avant tout un outil de calcul numérique ; mais leur importance n'a cessé de croître. Il suffira de feuilleter cette encyclopédie pour constater que, de nos jours, les logarithmes et les exponentielles interviennent dans tous les domaines de l'activité humaine, qu'il s'agisse de physique, de médecine, de sciences humaines... C'est […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/exponentielle-et-logarithme/#i_26744

FONCTION, mathématiques

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 286 mots

Depuis l'introduction en mathématique du mot « fonction » et de la notation y  =  f  ( x ) par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1692, à propos de parties de droites dépendant d'un point variable sur une courbe, cette notion, déjà présente implicitement dans la pensée de mathématiciens du xvii […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonction-mathematiques/#i_26744

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 13 422 mots
  •  • 9 médias

On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'extension au cas complexe de nombreuses fonctions classiques a été réalisée par l'intermédiaire des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-d-une-variable-complexe/#i_26744

FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 5 475 mots
  •  • 10 médias

La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de Mercator ( xvi e  siècle). Au début du […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-representation-conforme/#i_26744

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire

  • Écrit par 
  • Michel HERVÉ
  •  • 3 205 mots
  •  • 1 média

Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xix e  siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la théorie plus générale des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-elliptiques-et-modulaire/#i_26744

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Écrit par 
  • André MARTINEAU, 
  • Henri SKODA
  •  • 8 734 mots

La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l'analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles, introduisent nécessairement ces fonctions. Mais, à part quelques faits élémentaires, pendant très longtemps on ne connut presque rien de la théorie générale ; ce n' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-de-plusieurs-variables-complexes/#i_26744

GÉNÉRATEUR, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 024 mots

Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène , ou encore posséder un générateur a , si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à a . Par définition d'un pro […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/generateur-mathematique/#i_26744

GENRE ET COGNITION

  • Écrit par 
  • Michel HUTEAU
  •  • 1 133 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La réussite scolaire »  : […] Puisque la proportion des filles et des garçons n'est pas la même dans les diverses filières scolaires, la comparaison doit être limitée à la période du tronc commun. Il est pertinent de distinguer trois types d'évaluation de la réussite scolaire : des évaluations objectives, les notations habituelles des enseignants et les auto-estimations des élèves. L'application de tests de connaissances montr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/genre-et-cognition/#i_26744

GÉOMÉTRIE

  • Écrit par 
  • François RUSSO
  •  • 10 634 mots
  •  • 4 médias

La géométrie est communément définie comme la science des figures de l'espace . Cette définition un peu incertaine risque de conduire à inclure dans la géométrie des questions qui ne sont géométriques que dans leur langage, mais relèvent en fait d'autres domaines. Tel est le cas de l'algèbre géométrique des Grecs qui parlait du « rectangle » de deux segments pour qualifier le produit de deux nombr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie/#i_26744

GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 13 071 mots
  •  • 7 médias

Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l'algèbre relativement récente (cf. algèbre , dedekind ). Pour « comprendre » les phénomènes d'intersection des courbes et des surfaces, il s'est révélé nécessaire d'élaborer des techniques compliquées qui se sont développées de manière abstraite et sont venues à leur tour enrichi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-algebrique/#i_26744

GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

  • Écrit par 
  • Paulette LIBERMANN
  •  • 7 352 mots
  •  • 12 médias

L'histoire des courbes planes est intimement liée à l'histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au xvii e  siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf.  calcul infinitésimal  – Histoire). Les courbes dans l'espace à trois dimensions (dite […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/#i_26744

GRAPHES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Hervé RAYNAUD
  •  • 3 646 mots
  •  • 10 médias

On appelle théorie des graphes une classe de problèmes d'apparence hétéroclite, plus ou moins bien résolus, mais qui suscite un engouement à la hauteur de la fascination qu'exercent ses résultats. Claude Berge (1926-2002), dans son discours inaugural des Journées internationales d'études de la théorie des graphes (Rome, 1966), déclarait : « Je remercie les deux cent cinquante participants de ce c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-graphes/#i_26744

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 229 mots
  •  • 1 média

On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi ailleurs, notamment en cristallographie, en chimie, en linguistique. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-generalites/#i_26744

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 863 mots
  •  • 3 médias

Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la géométrie algébrique et de la géométrie différentielle). Mais, même dans l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-classiques-et-geometrie/#i_26744

GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 5 062 mots

Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de leurs élèves vers le commencement du xx e  sièc […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-finis/#i_26744

GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 3 760 mots

Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux classer les représentations linéaires, sont vitaux pour […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-representation-lineaire-des-groupes/#i_26744

GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 10 813 mots
  •  • 2 médias

La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles et la géométrie différentielle. Leur étude générale a mis plus tard en évidence un certain nombre d'objets mathém […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-de-lie/#i_26744

INFORMATIQUE ET VÉRITÉ MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 990 mots
  •  • 1 média

« Tel nombre est premier », « tels graphes sont isomorphes », « telle classification est complète », etc. Traditionnellement, en mathématiques, la certitude concernant de telles affirmations formelles ne peut résulter que d'une démonstration. La pratique, cependant, semble remettre en question certaines des idées communément admises en la matière. L'informatique n'introduit-elle pas une nouvelle […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/informatique-et-verite-mathematique/#i_26744

INTÉGRALES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Michel HERVÉ
  • , Universalis
  •  • 2 561 mots

Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l'étude des oscillations d'une corde tendue (cf. analyse mathématique , chap. 6). Après l'introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du xix e  siècle, avec les travaux de H. A. Schwarz, de H. Poincaré, de V. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-integrales/#i_26744

INTÉGRATION ET MESURE

  • Écrit par 
  • André REVUZ
  •  • 6 222 mots

La théorie de l'intégration joue en mathématique un rôle extrêmement important. C'est une théorie riche et complexe. Il ne sera pas question ici d'en donner une description exhaustive ni d'en aborder les assez redoutables aspects techniques. On s'efforcera de mettre en lumière les grandes idées simples qui y sont à l'œuvre et de montrer comment elles lient les aspects les plus élémentaires de la t […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/integration-et-mesure/#i_26744

INVARIANT, mathématique

  • Écrit par 
  • Nicole BERLINE
  •  • 1 753 mots

À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax 2 + 2 bxy + cy 2 + 2 ux + 2 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/invariant-mathematique/#i_26744

ITÉRATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE, 
  • Universalis
  •  • 876 mots

Itérer signifie recommencer, faire à nouveau. Construire les nombres entiers peut être vu comme l'opération consistant à partir de zéro à itérer indéfiniment l'ajout d'une unité. Plus généralement, en mathématiques, lorsqu'une fonction ou opération est disponible, il est fréquent d'en envisager l'itération, celle-ci conduisant soit à de nouvelles fonctions ou opérations, soit à des structures ou p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/iteration-mathematique/#i_26744

JEUX THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Bernard GUERRIEN
  •  • 8 066 mots

La théorie des jeux se propose d'étudier des situations (appelées « jeux ») où des individus (les « joueurs ») prennent des décisions, chacun étant conscient que le résultat de son propre choix (ses « gains ») dépend de celui des autres. C'est pourquoi on dit parfois de la théorie des jeux qu'elle est une « théorie de la décision en interaction ». Les décisions ayant pour but un gain maximum – el […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-jeux/#i_26744

LIMITE (mathématique)

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 203 mots

La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de nombres réels, puis en 1823 par le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy, qui la met à la base […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/limite/#i_26744

LINÉAIRE ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 13 828 mots

L' algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu'on la trouvera présentée ici, s'est progressivement dégagée, au cours du xix e  siècle et au début du xx e , de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à p inconnues, é […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lineaire-algebre/#i_26744

MATHÉMATIQUE ÉCOLE ÉCONOMIQUE

  • Écrit par 
  • François ETNER
  •  • 2 774 mots

De toutes les sciences sociales, l'économie est, de beaucoup, la plus mathématisée : dans les revues économiques qui comptent, les articles sont écrits dans le langage des mathématiques ; les économistes distingués chaque année par le prix Nobel d'économie sont le plus souvent des économistes mathématiciens. Pourtant, l'école mathématique revient de loin : aujourd'hui dominante, elle était hier […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ecole-economique-mathematique/#i_26744

MATHÉMATIQUE ÉPISTÉMOLOGIE DE LA

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 2 877 mots

Certes, l'épistémologie se distingue de toutes les réflexions d'ordre éthique ou politique qui interrogent la science et entendent contribuer à la réponse individuelle et collective à la question pratique « Que faire de la science ? ». Elle ne prétend pas travailler à la constitution d'une « conscience » de la science. Mais, en mathématique comme ailleurs, cette restriction préliminaire ne suffit […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/epistemologie-de-la-mathematique/#i_26744

MATHÉMATIQUES (DIDACTIQUE DES)

  • Écrit par 
  • Régine DOUADY
  •  • 6 923 mots
  •  • 1 média

Les problèmes posés par l'enseignement des mathématiques ne sont pas nouveaux. Au début du siècle, Henri Lebesgue était préoccupé par les conditions de l'enseignement et de la formation des professeurs. Des efforts plus récents se sont déployés dans tous les pays. Depuis les années 1960-1970, des institutions, de statut différent selon les pays ou à l'intérieur d'un même pays, ont reçu pour missi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mathematiques-didactique-des/#i_26744

MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par 
  • Jean Toussaint DESANTI
  •  • 10 438 mots
  •  • 1 média

Au sens premier et fort, le mot « fondement » désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d'énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. « Reposer sur la base » signifie ici « trouver en elle à la fois son origine et sa raison ». Point fixe à partir de quoi l'on explique et déploie, région originaire où prend racine le riche contenu de l'exp […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fondements-des-mathematiques/#i_26744

FIELDS MÉDAILLES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  • , Universalis
  •  • 798 mots

Médaille des prix internationaux de mathématiques, qui est, avec le prix Abel (depuis 2003), l'une des plus hautes distinctions dans cette science. C'est selon le désir posthume du mathématicien canadien John Charles Fields (1863-1932) que le IX e  Congrès international des mathématiciens, qui s'est tenu à Zurich en septembre 1932, a enregistré la création de deux prix de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/medailles-fields/#i_26744

MESURE, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 324 mots

Mesurer les objets concrets mathématisables fut l'un des premiers actes scientifiques conscients : il est d'usage de citer la redistribution, à des fins fiscales, des terres émergées après une crue du Nil, dans l'Égypte antique. Le premier niveau consiste à calculer des longueurs , d'abord d'intervalles de droites, puis de courbes comme le cercle. Le second a pour objet d'ob […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mesure-mathematique/#i_26744

MODÉLISATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 579 mots

La notion de modèle en mathématiques se présente sous un double aspect : d'une part, les mathématiques permettent de modéliser, c'est-à-dire de représenter, toutes sortes de situations, d'objets et de structures du monde réel, l'étude mathématique ou les simulations informatiques de ces représentations nous informant – lorsque les représentations sont bonnes – sur le monde réel ; d'autre part, un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/modelisation-mathematique/#i_26744

NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 785 mots

L'idée intuitive de nombre doit remonter à l'émergence même de la pensée et il est impossible de savoir quel hominidé, et quand, a commencé à compter (ses doigts, les personnes de son groupe, des animaux, les jours...), ou au moins à distinguer un de deux ou de plusieurs. Les nombres interviennent dans la plupart des activités humaines, des langages qu'ils imprègnent aux calculs qui les utilisent, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombre/#i_26744

NOMBRES COMPLEXES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 3 541 mots
  •  • 2 médias

Introduits à l'origine comme symboles purement formels destinés à rendre compte des propriétés des équations algébriques, les nombres imaginaires sont d'un usage courant au xviii e  siècle, mais ce n'est qu'au siècle suivant qu'ils seront définis et utilisés correctement, avec la rigueur qui caractérise les préoccupations des mathématiciens du […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-complexes/#i_26744

NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 185 mots
  •  • 1 média

Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes particuliers qui se posent en arithmétique et qui, pour la pl […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-theorie-analytique/#i_26744

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 5 197 mots

On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes ) en commençant par chercher les solutions modulo p , un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z / p Z est un corps . Cette méthode ne donne qu'une information insuffisante pour le problèm […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-p-adiques/#i_26744

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 14 064 mots

Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré égal à 2. Plus généralement, Théétète ( v e  s. avant J.-C.) a établi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/#i_26744

NORMÉES ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc SAUVAGEOT, 
  • René SPECTOR
  •  • 4 735 mots

Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. M. Gelfand, M. A. Naimark, D. A. Raikov, G. E. Šylov), la théorie des algèbres normées avait primitivement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebres-normees/#i_26744

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 094 mots

L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xx e  siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des formes quadratiques à une infinité de variables. À sa sui […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-vectoriels-normes/#i_26744

NOTATION MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Hans FREUDENTHAL
  •  • 10 388 mots
  •  • 1 média

Pour connaître une langue naturelle, il n'est pas nécessaire d'en apprendre l'histoire ni, pour comprendre sa littérature, de faire l'étude historique de la grammaire et du vocabulaire. À cet égard, le langage mathématique, en raison de son caractère plutôt artificiel, se présente bien différemment. Alors que l'accord qui est à la base d'une langue naturelle n'a jamais été exprimé explicitement, l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/#i_26744

NUMÉRATION

  • Écrit par 
  • Josette ADDA
  •  • 2 388 mots

Le problème de la numération est celui de la désignation des nombres. Les nombres sont définis de manière intrinsèque, indépendamment de leur nom, et la façon de les désigner dépend du langage, du « code » choisi. Pour comprendre en quoi consiste la numération, il est important d'abord de savoir distinguer un nombre de ses représentations dans divers « systèmes de numération ». Les nombres entier […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/numeration/#i_26744

NUMÉRIQUE ANALYSE

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 645 mots

Les problèmes et les méthodes numériques ne délimitent pas un secteur spécifique des mathématiques ; ils interviennent en effet non seulement dans les domaines traditionnels (analyse classique et équations fonctionnelles), mais aussi en algèbre, en théorie des nombres, etc. La spécificité de l'analyse numérique relève de trois aspects majeurs : –  une démarche originale combinant les possibilités […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/#i_26744

OBJET MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 1 074 mots

Le but des mathématiques est de démontrer des résultats non triviaux sur ce qu'on peut appeler globalement des objets mathématiques. Il en existe de nombreux types : nombres entiers, nombres réels, points, droites ou courbes de la géométrie, suites, séries et fonctions de l'analyse, ensembles divers, ensembles d'ensembles, etc. Les objets mathématiques n'appartenant pas au monde sensible, leur nat […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet-mathematique/#i_26744

OBJET UNIVERSEL, mathématique

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 1 106 mots

Des objets universels apparaissent dans de multiples contextes mathématiques, mais l'idée de base est commune : un objet universel est un objet à partir duquel tous les autres membres de la famille considérée peuvent se reconstruire. Par conséquent, un objet universel est, quand il existe, le plus grand, le plus général de la famille. L'existence d'un tel objet permet d'économiser des démonstratio […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet-universel-mathematique/#i_26744

OPÉRATION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 085 mots

Une définition formelle du concept d'application est la suivante : une application f d'un ensemble A dans un ensemble B est une partie du produit cartésien A × B [c'est-à-dire des couples ( x y ) où x décrit A et y décrit B], telle que, pour tout élément a de A […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/operation-mathematique/#i_26744

PHYSIQUE - Les fondements et les méthodes

  • Écrit par 
  • Roland OMNÈS
  •  • 10 729 mots
  •  • 8 médias

Dans le chapitre « Une science exacte »  : […] La physique est l'archétype de la science exacte. Il faut voir là une hypothèse fondamentale, qui peut être énoncée de la manière suivante : les phénomènes naturels obéissent à des lois fixes. Plus précisément, il apparaît que la réalité peut être décrite, et ses processus prédits à l'aide de représentations mathématiques . De telles représentations sont constituées par un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/physique-les-fondements-et-les-methodes/#i_26744

PHYSIQUE - Physique et mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Marc LÉVY-LEBLOND
  •  • 7 176 mots

L'existence d'une relation particulière entre la physique et les mathématiques est universellement reconnue. Les témoignages explicites en abondent à travers toute l'histoire de la physique, à commencer par la célèbre assertion de Galilée : « La philosophie est écrite dans ce livre immense perpétuellement ouvert devant nos yeux (je veux dire : l'Univers), mais on ne peut le comprendre si l'on n'a […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/physique-physique-et-mathematique/#i_26744

POLYNÔMES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 2 313 mots

La théorie des équations et des polynômes a été le propos essentiel de l'algèbre jusqu'au xix e  siècle (cf. équations algébriques , algèbre ) et est à la base de la théorie des corps et de la théorie des nombres algébriques. Nous nous sommes limités ici à une construction formelle des objets mat […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes/#i_26744

POTENTIEL THÉORIE DU

  • Écrit par 
  • Arnaud de la PRADELLE
  •  • 6 343 mots

La théorie du potentiel, directement issue de l'électrostatique, est une source d'inspiration extrêmement riche en analyse. Si, au début du xix e  siècle, on connaissait déjà l'équation de Laplace, la fonction de Green et l'intégrale de Poisson dans la boule, ce n'est vraiment qu'avec C. F.  Gauss (1840) que sont posés et résolus, bien qu'imparfai […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-du-potentiel/#i_26744

PRIX ABEL 2016

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
  •  • 1 206 mots
  •  • 2 médias

Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, ouvrant ainsi une nouvelle ère dans la théorie des nombres ». Wiles est né le 11 avril 1953 à Cambri […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/prix-abel-2016/#i_26744

PROBABILITÉS CALCUL DES

  • Écrit par 
  • Daniel DUGUÉ
  •  • 12 208 mots
  •  • 6 médias

Le calcul des probabilités est certainement l'une des branches les plus récentes des mathématiques, bien qu'il ait en fait trois siècles et demi d'existence. Après s'être cantonné dans l'étude des jeux de hasard, il s'est introduit dans presque toutes les branches de l'activité scientifique, aussi bien dans l'analyse (théorie du potentiel), l'économie, la génétique (lois de Mendel), la physique c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-probabilites/#i_26744

QUADRATIQUES FORMES

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 6 811 mots
  •  • 1 média

La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse fonctionnelle (équations différentielles, aux dérivées partielles ou intégrales). Elle est étroitement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/formes-quadratiques/#i_26744

RÉELS NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean DHOMBRES
  •  • 15 297 mots

Par les différents adjectifs généralement accolés au substantif commun qu'est le nombre, la langue mathématique familière surprend et inquiète, car elle risque de susciter des confusions : nombres rationnels (d'autres nombres seraient donc sans raison ?), nombres réels (des nombres doués d'existence propre ?), nombres algébriques (seuls susceptibles des règles de l' algèbre ?), nombres transfiguré […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/#i_26744

SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL
  •  • 3 246 mots

La notion de limite d'une suite est à la base de l'analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s'est imposé dès le xvii e  siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur une définition des limites, remontent seulement au début du […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/series-et-produits-infinis/#i_26744

SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

  • Écrit par 
  • Alain CHENCINER
  •  • 10 511 mots
  •  • 19 médias

De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maximal, des points où un espace analytique n'est pas lisse, des points où un champ de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/#i_26744

STATISTIQUE

  • Écrit par 
  • Georges MORLAT
  •  • 14 018 mots
  •  • 1 média

Le mot « statistique » désigne à la fois un ensemble de données d'observation et l'activité qui consiste dans leur recueil, leur traitement et leur interprétation. Au cours de l'histoire, la collecte d'observations et la méthodologie de leur emploi se sont développées de façons largement indépendantes. Aujourd'hui, le recueil de statistiques est une activité importante, indispensable à la gestion […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/statistique/#i_26744

TOPOLOGIE - Topologie générale

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 4 363 mots
  •  • 3 médias

Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M 0 M varie continûment et, si M tend vers M 0 , la corde M 0 M a une position limite qui est T. En disant q […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-generale/#i_26744

TOPOLOGIE - Topologie algébrique

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 8 676 mots
  •  • 1 média

Inventée au début du xx e  siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l'introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l'exposé, on a décomposé cet article en deux parties. Dans la première partie (chapitres 1 à 5), les problèmes géométriques […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/#i_26744

TRANSCENDANTS NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 2 107 mots

Si la notion de nombre irrationnel remonte aux Grecs, l'idée de nombre transcendant n'a pu se dégager qu'après la création de notations algébriques assez développées pour que le concept de polynôme de degré quelconque puisse être clairement formulé ; aussi est-ce seulement au xvii e  siècle que l'on commence à faire la distinction entre les nombr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-transcendants/#i_26744

VARIATIONS CALCUL DES

  • Écrit par 
  • Claude GODBILLON
  •  • 3 804 mots
  •  • 1 média

L'étude d'une fonction à valeurs réelles comporte en particulier la détermination de ses extrémums. C'est là un des objets du calcul différentiel classique lorsque la source de cette fonction est un espace numérique ; c'est l'objet de ce qu' Euler a appelé le calcul des variations lorsque cette source est un espace fonctionnel. On rencontre déjà dans la plus haute antiquité […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-variations/#i_26744

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 10 344 mots
  •  • 7 médias

On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B.  Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les géomètres du xix […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/#i_26744

Pour citer l’article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN, « MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/mathematique/