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MATHÉMATIQUE ÉPISTÉMOLOGIE DE LA

Courant intuitionniste

Un courant original de l'épistémologie fondationnelle de la mathématique doit être cité à part, même s'il a donné lieu, lui aussi, à des formulations d'espèce logico-analytique, lui donnant droit de cité au sein de l'ensemble que nous venons d'évoquer : c'est le courant intuitionniste, issu de la réflexion rebelle du mathématicien Luitzen E. J. Brouwer (1881-1966) au début du xxe siècle, et de son débat intense et houleux avec David Hilbert (1862-1943), le père de la mathématique formelle contemporaine. Dans le fond, en effet, la vision brouwerienne du problème épistémologique n'est pas compatible avec le cadre d'interrogation défini par Paul Benacerraf : en substance, Brouwer pense que la « façon de prétendre à la vérité » et « d'être vrai » qui est propre à un énoncé mathématique n'est pas celle des énoncés ordinaires portant sur le monde, en telle sorte que le projet de rattacher à la réalité commune les objets mathématiques et de définir une sémantique classique pour le discours à leur sujet n'est pas le bon. Les objets mathématiques sont, pour Brouwer, des constructions et des intuitions à la fois, et les énoncés mathématiques sont, en quelque sorte, des comptes rendus de constructions révélant les objets construits sous tel ou tel angle : leur vérité réside dans la disponibilité et la clarté intuitive de la construction sous-jacente. Le courant intuitionniste, en profondeur, est lié à la conception de la mathématique qui fut celle du rationalisme philosophique transcendantal allemand avant l'ère analytique : c'est du côté de Kant ou de Husserl qu'une épistémologie intuitionniste de la mathématique trouve aujourd'hui encore son langage, ses concepts, ses arguments ; la réflexion et le travail d'un grand logicien néo-intuitionniste, Per Martin-Löf (né en 1942), en portent témoignage.

De l'école intuitionniste, il faut dire aussi qu'elle ne reconnaît pas, en un sens, la frontière entre épistémologie de la mathématique et mathématique elle-même, ni sans doute la frontière entre logique et mathématique. D'une part, Brouwer et ses successeurs ont essayé de définir une façon de faire de la mathématique qui ne se séparerait jamais du « sous-sol » intuitif et constructif que l'épistémologie intuitionniste dégage. D'autre part, la mathématique constructive qui obéit à ce programme se situe souvent à l'intersection de la logique et de la mathématique, refusant d'être exclusivement classée d'un côté ou de l'autre. L'ouvrage Foundations of Constructive Mathematics (1985), de Michael Beeson (né en 1945), rend compte de ces deux aspects.

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Écrit par

  • : professeur de philosophie des sciences, logique et épistémologie à l'université de Paris-X-Nanterre

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • CONSTRUCTIVISME, mathématique

    • Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
    • 1 372 mots

    Le constructivisme est une philosophie des mathématiques définie par deux composantes. Au plan ontologique, le constructiviste considère les objets mathématiques, non comme existant « par eux-mêmes », mais comme le résultat des constructions mentales du mathématicien. Au plan méthodologique, il insiste...

  • CONVENTIONNALISME, mathématique

    • Écrit par Gerhard HEINZMANN
    • 1 052 mots

    Selon Kant, les jugements mathématiques ne sont ni analytiques et nécessaires, ni synthétiques et contingents. Ils sont synthétiques et a priori. Le conventionnalisme mathématique est une conception philosophique qui abandonne le caractère synthétique a priori des jugements géométriques. En effet,...

  • FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

    • Écrit par Jacques-Paul DUBUCS
    • 1 492 mots

    Le finitisme est un point de vue sur les fondements des mathématiques essentiellement défendu par le mathématicien David Hilbert (1862-1943) dans les années 1920, et particulièrement développé dans „Sur l'infini“, son célèbre article de 1925.

    Le principe fondamental du finitisme...

  • FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

    • Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
    • 870 mots

    Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique...

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