DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

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Dans l'industrie de la confection, pour poser du papier peint dans une pièce aux formes compliquées, pour éviter trop de pertes en menuiserie, ainsi que dans bien d'autres activités artisanales se posent des problèmes de découpage et d'assemblage de figures. Certains de ces problèmes possèdent des solutions inattendues, ce qui a attiré l'attention des mathématiciens et particulièrement des amateurs de divertissements géométriques.

La proposition suivante est évidente : si on découpe un polygone plan A en un nombre fini de morceaux polygonaux et qu'on les recombine en un polygone B, alors les polygones plans A et B ont des aires égales. Moins évidente est la propriété réciproque : si deux polygones plans A et B ont des aires égales, alors on peut découper le premier en un nombre fini de polygones qui se recombinent pour former le second. C'est le théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein qui fut démontré indépendamment plusieurs fois au cours du xixe siècle, par M. Lowry, William Wallace (1768-1843), Farkas Bolyai (1775-1856) et Paul Gerwien respectivement en 1814, 1832 et 1833. On l'énonce plus simplement en disant : deux polygones sont décomposables par dissection polygonale, si et seulement si ils ont la même aire. La démonstration de ce résultat tient en quelques dessins (fig. 1).

Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

Dessin : Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien : Deux polygones de même aire peuvent être transformés l'un en l'autre par dissection polygonale.DémonstrationPour transformer deux polygones de même aire l'un en l'autre par dissection polygonale, suivre les instructions suivantes.- (1) Découper le... 

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Lorsqu'on suit la démonstration du théorème, on peut ainsi transformer un carré en triangle équilatéral, ou un hexagone en pentagone. Les découpages obtenus par cette méthode utilisant fréquemment un grand nombre de pièces, on cherche d'autres découpages plus économiques. C'est là une source inépuisable de casse-tête géométriques. Les records sont régulièrement battus, parfois au plus grand étonnement des spécialistes eux-mêmes.

Ce fut le cas pour la transformation proposée par Harry Lindgren (1912-1992) du décagone en carré qui était déjà magnifiquement opérée en n'utilisant que huit pièces, et que l'amateur anglais passionné Gavin Theobald améliora en un découpage de sept pièces (fig. 2).

Découpage de polygones : exemple de record

Dessin : Découpage de polygones : exemple de record

Voici, parmi des dizaines d'autres, un exemple d'amélioration inattendue d'un découpage de polygones.(a) Dans son livre de 1964, Harry Lindgren propose un très beau découpage du dodécagone en carré n'utilisant que 8 pièces (la procédure générale de la démonstration du théorème de... 

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Trois livres centraux

L'ouvrage d'Harry Lindgren Recreational Problems in Geometric Dissections and How to Solve Them, paru en 1964, puis complété et republié en 1972, a longtemps été la référence obligée. Deux livres de Greg N. Frederickson ont enrichi considérablement la littérature sur cet art mathématique.

Le premier, paru en 1997 sous le titre Dissection : Plane and Fancy, est un recueil de découpages contenant des informations que l'auteur a recherchées patiemment dans toutes sortes de publications, pour la plupart très rares. Les illustrations font découvrir à chaque page des constructions astucieuses et fascinantes. Ce livre prouve que l'ingéniosité des amateurs de récréations mathématiques peut engendrer des merveilles esthétiques.

Le second ouvrage, paru cinq ans plus tard, s'intitule Hinged Dissections : Swinging and Twisting. Il traite principalement des découpages avec charnières, c'est-à-dire tels que les pièces restent liées les unes aux autres lors de la transformation d'une première figure en une seconde. Un exemple de dissection avec charnières est celui tout à fait remarquable du carré en triangle équilatéral (fig. 3 et 9).

Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral

Dessin : Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral

Voici, avec les indications d'angles et de longueurs, le passage du carré au triangle équilatéral. 

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Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien
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Découpage de polygones : exemple de record

Découpage de polygones : exemple de record
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Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral

Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral
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Quadrature des lunules par découpage

Quadrature des lunules par découpage
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Jean-Paul DELAHAYE, « DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/dissections-geometriques/