DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

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Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Découpage de polygones : exemple de record

Découpage de polygones : exemple de record
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral

Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral
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Quadrature des lunules par découpage

Quadrature des lunules par découpage
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Figures à bords arrondis

Le thème du découpage des figures à bords arrondis et celui des polyèdres vont retenir notre attention, car ils montrent que les mathématiques du découpage sont liées à des questions profondes conduisant bien au-delà des énigmes récréatives.

On considère donc non plus des polygones mais des figures ayant les bords curvilignes (le plus souvent ce sont des arcs de cercle). Les choses se compliquent (fig. 4 et 5), car le théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein ne s'applique plus pour assurer qu'au moins un découpage est possible lorsque les aires sont égales.

Quadrature des lunules par découpage

Quadrature des lunules par découpage

Dessin

Les Grecs savaient qu'on pouvait utiliser des découpages astucieux pour évaluer l'aire de morceaux du plan, y compris lorsque certains bords sont curvilignes. Voici quelques-unes de ces formes, appelées lunules, dont le découpage permet de calculer l'aire en la ramenant à celle d'un... 

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Transformation d'un disque en deux ovales troués

Transformation d'un disque en deux ovales troués

Dessin

Découper aux ciseaux un disque pour obtenir un carré n'est pas possible. Ni même le découper en une autre figure convexe. Cependant, certaines dissections de figures à bords curvilignes ont été découvertes.Découpage d'un cercle en deux ovales troués(a) Solution en huit pièces de... 

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L'idée des dissections était l'une des méthodes utilisées par les Grecs pour « quarrer » des surfaces à bords curvilignes. « Quarrer » veut dire calculer l'aire en ramenant la figure initiale à celle d'un carré. Les figures aux bords curvilignes sont appelées lunules, et les Grecs avaient perçu la difficulté de ces découpages, certains paraissant même impossibles.

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Jean-Paul DELAHAYE, « DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/dissections-geometriques/