DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

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Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien
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Découpage de polygones : exemple de record

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Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral

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Quadrature des lunules par découpage

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Découpage dans l'espace

Le passage à la dimension 3 change entièrement la situation de la théorie des découpages. En dimension 3, aucun théorème général équivalent à celui de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein n'est connu. On sait au contraire, depuis presque un siècle, que certains polyèdres ne sont pas décomposables par dissection polyédrique en d'autres.

La décomposition par dissection polyédrique du tétraèdre régulier était l'objet du troisième problème, parmi vingt-trois, posé par David Hilbert (1862-1943) en 1900. Ce problème fut d'ailleurs le premier de la série à être résolu puisque, avant même la fin de l'année 1900, Max Dehn (1878-1952) avait associé un coefficient à chaque polyèdre, et montré que ce coefficient ne change pas quand on procède à une dissection polyédrique. Cette propriété d'invariance du coefficient (appelé invariant de Dehn) implique que deux polyèdres qui n'ont pas le même coefficient ne sont pas décomposables par dissection polyédrique l'un en l'autre. En 1965, Jean-Pierre Sydler a prouvé qu'avoir le même invariant de Dehn était non seulement nécessaire, mais suffisant pour que deux polyèdres soient décomposables par dissection polyédrique l'un en l'autre. En calculant l'invariant de Dehn des cinq polyèdres réguliers – tétraèdre, octaèdre, cube, dodécaèdre, icosaèdre – on constate qu'ils sont tous différents ; par conséquent aucun découpage en polyèdres plus petits ne permet de passer de l'un d'eux à un autre.

Le passage à la dimension 3 change aussi la situation concernant la décomposition par dissection ensembliste quelconque. Tout d'abord, on ne réussit pas à établir que, si une dissection fait passer d'un polyèdre à un autre, alors les deux polyèdres ont le même volume (pour la dimension 2, Stephan Banach avait montré en 1923 que, si l'on peut passer d'un polygone à un autre par dissection quelconque, alors ceux-ci ont la même aire).

Pis – et c'est le paradoxe de Banach-Tarski –, on établit qu'une sphère se décompose en un nombre fini de morceaux, qui, une fois déplacés (sans déformation), se rec [...]


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Jean-Paul DELAHAYE, « DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/dissections-geometriques/