DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

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Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Découpage de polygones : exemple de record

Découpage de polygones : exemple de record
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Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral

Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral
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Quadrature des lunules par découpage

Quadrature des lunules par découpage
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Découpages avec charnières

Les découpages avec charnières sont des découpages dont les diverses pièces sont rendues solidaires par des charnières. Selon la façon dont les pièces sont situées les unes par rapport aux autres, on doit obtenir l'une des figures ou l'autre et le passage d'une disposition à l'autre doit être rendu possible par le seul mouvement des charnières (fig. 9).

Dissections avec charnières

Dissections avec charnières

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Quelques exemples de dissections avec charnières.(a) La classique transformation d'un carré en triangle équilatéral, due à Dudeney.(b) La transformation de deux cubes côte à côte en un seul (utilisée dans la démonstration du théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein) peut se faire en... 

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Une question vient immédiatement à l'esprit du mathématicien : peut-on adapter le théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwien et en obtenir l'équivalent pour des découpages articulés ? Autrement dit, à chaque fois que deux polygones ayant même aire sont donnés, peut-on créer une dissection avec charnières qui se replie, au choix, en l'un ou en l'autre des polygones ?

Cette question de géométrie élémentaire n'est pas résolue aujourd'hui, mais les nombreuses dissections articulées découvertes ces dernières années par Greg Frederickson et quelques autres passionnés suggèrent que oui. À force de découvrir des solutions à tous les problèmes qu'il se posait, Frederickson est aujourd'hui persuadé que cette conjecture des dissections articulées est vraie. Qui la démontrera ?

En dimension 3, on peut aussi placer des charnières pour lier les unes aux autres les pièces d'un découpage. Une magnifique création (fig. 10) due à Anton Hanegraaf (1931-2001) réalise la transformation d'un parallélépipède (de côté 2, 1 et 1) en un cube (de côté 21/3).

Découpages avec charnières

Découpages avec charnières

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(a) Deux découpages avec charnières permettant de transformer des rectangles de tailles différentes (quatre pièces).(b) Le remarquable découpage articulé en sept pièces de Hanegraaf transformant un double cube en un seul et utilisant les méthodes d'articulation de (a).(c) Un découpage... 

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Les mathématiques du découpage, loin d'être un domaine du passé, sont aujourd'hui l'objet de recherches actives et étonnamment productives. La beauté des objets qu'on y rencontre, les liens avec de grands problèmes logiques et les conjectures irrésolues qui y persistent en font une discipline séduisante dont les développements récents émerveillent.

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Jean-Paul DELAHAYE, « DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 28 juin 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/dissections-geometriques/