DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

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Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien
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Découpage de polygones : exemple de record

Découpage de polygones : exemple de record
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Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral

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Quadrature des lunules par découpage

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Une question de Gauss concernant les polyèdres

En 1844, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) déplorait dans une lettre au mathématicien Christian Ludwig Gerling (1788-1864) que la seule façon de procéder pour démontrer que deux polyèdres symétriques l'un de l'autre possèdent le même volume soit d'utiliser l'infini. Une méthode consiste à découper le premier polyèdre en tranches parallèles fines dont on inverse l'ordre, puis à faire tendre le nombre de tranches vers l'infini. Ne pouvait-on éviter ce passage par l'infini pour une question géométrique aussi simple ?

Gerling lui répondit, quelques jours plus tard, qu'il suffisait de découper les deux polyèdres symétriques en tétraèdres (ceux provenant du premier polygone seront les symétriques de ceux provenant du second) et de savoir transformer par dissection polyédrique un tétraèdre en son symétrique, chose qu'il montrait possible. Pour cette transformation d'un tétraèdre quelconque en son symétrique, Gerling proposait un découpage en douze morceaux, qui depuis lors a été amélioré en un découpage en six morceaux (fig. 6). Le problème de Gauss était donc résolu.

Transformation d'un polyèdre en son symétrique

Transformation d'un polyèdre en son symétrique

Dessin

Tout polyèdre peut être transformé par dissection polyédrique en son symétrique. Par découpage des polyèdres en tétraèdres, on voit qu'il suffit de prouver que deux tétraèdres symétriques l'un de l'autre peuvent être transformés l'un en l'autre par dissection. La méthode consiste à... 

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Jean-Paul DELAHAYE, « DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/dissections-geometriques/