DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

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Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien

Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Découpage de polygones : exemple de record

Découpage de polygones : exemple de record
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Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral

Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral
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Quadrature des lunules par découpage

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Dodécaèdre rhombique

Malgré le résultat négatif de Dehn indiquant que le tétraèdre régulier ne peut se décomposer en polyèdre redonnant un cube, certains polyèdres peuvent se transformer en d'autres par dissection polyédrique et c'est à ce jeu délicat que s'adonnent les amateurs.

Le dodécaèdre rhombique est un polyèdre très intéressant car il peut paver l'espace. Il possède douze faces identiques, chacune ayant la forme d'un losange dont les diagonales sont dans un rapport de √2 (cette seule information le définit avec précision).

On peut transformer deux cubes identiques par dissection polyédrique en un dodécaèdre rhombique. En guise d'exercice à la pensée géométrique sans figure, voici la description de ce découpage qui ne sera illustré nulle part dans l'article : on divise le premier cube en six pyramides identiques à base carrée, chacune ayant comme socle une face du cube et chacune ayant comme pointe le centre du cube. On colle les six pyramides sur les faces du second cube, et cela donne... le dodécaèdre rhombique.

Un autre découpage polyédrique simple est celui qui fait passer de deux octaèdres tronqués à un cube (fig. 7). Parmi les rares résultats concernant les polyèdres, on trouve celui qui affirme que l'octaèdre tronqué, le dodécaèdre rhombique et le cube sont équivalents par dissection polyédrique (fig. 8).

Cube découpé en deux octaèdres tronqués

Cube découpé en deux octaèdres tronqués

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David Paterson et Anton Hanegraaf ont chacun, indépendamment, remarqué qu'on pouvait découper un cube en six pièces pour obtenir deux octaèdres tronqués. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Cube, dodécaèdre rhombique et octaèdre tronqué

Cube, dodécaèdre rhombique et octaèdre tronqué

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Le cube, le dodécaèdre rhombique et l'octaèdre tronqué sont équivalents par dissection polyédrique.Deux dissections en treize pièces découvertes par Anton Hanegraaf. La première fait passer du dodécaèdre rhombique au cube, la seconde de l'octaèdre tronqué au cube. DAns la seconde, les... 

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Jean-Paul DELAHAYE, « DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/dissections-geometriques/