DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires

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Les systèmes hyperboliques non linéaires

On se propose de considérer des systèmes de la forme :

u est un vecteur à m composantes et Fi une fonction régulière de Rm dans Rm. Son gradient (par rapport à u) est donc une matrice Ai′(u), et on dira que le système (1) est non linéaire hyperbolique si les Ai sont des fonctions non linéaires de u et si les valeurs propres de la matrice :
sont toutes réelles pour tout vecteur ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξm) ∈ Rm.

De tels systèmes se rencontrent dans de nombreux domaines de la physique (mécanique des fluides, magnéto-hydrodynamique, combustion, etc.). Ils correspondent à des problèmes physiques célèbres, comme le calcul de la traînée et de la portance d'une aile d'avion, ou la propagation d'une onde de choc.

Pour comprendre la difficulté du problème, on peut considérer un modèle « abstrait » qui décrit la distribution des vitesses d'un fluide monodimensionnel sans force extérieure. Le mouvement des particules est donné par l'équation différentielle ordinaire :

et la relation fondamentale de la mécanique conduit à écrire :

L'équation ainsi obtenue est dite équation de Burger. On déduit de (3) que l'on a :

et donc que u est constant le long des solutions de (2), ce qui implique ensuite que les courbes définies par (2) sont en fait des droites. Cela permet de construire la solution de l'équation de Burger :
pour une donnée initiale régulière ϕ, et pendant un temps petit, en inversant l'équation :
et posant u(xt) = ϕ(ξx). Un tel procédé n'est possible que tant que l'équation (4) est résoluble. Or, l'équation (4) cesse d'être résoluble dès que deux droites caractéristiques se rencontrent, ce qui correspond à un choc entre les molécules de fluides et empêche que la solution reste continue. On est donc conduit à chercher une solution discontinue de (3) après le choc, c'est-à-dire une fonction u-mesurable et bornée qui vérifie (4) au sens des distributions. En particulier, si elle est discontinue le long d'une courbe x = s(t), dite courbe de choc, elle devra vérifier la relation de saut :
u+ et u- désignent les vitesses du fluide avant et après [...]

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Pour citer l’article

Claude BARDOS, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 30 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-equations-non-lineaires/