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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires

L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des événements que les équations linéaires ne peuvent pas prendre en compte. Inversement, on peut dire que c'est l'existence de ces phénomènes nouveaux – apparition de chocs ou de singularités, comportement asymptotique profondément différent de celui des problèmes linéaires – qui rend la théorie difficile et qui conduit à faire appel à un arsenal mathématique très vaste. L'interaction avec le reste de la mathématique se fait aussi en sens inverse, car un certain nombre de problèmes abstraits se traitent à l'aide d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Les liens avec l'analyse numérique sont continuels, et s'effectuent dans les deux sens. D'une part, on utilise l'analyse des équations aux dérivées partielles non linéaires pour construire des algorithmes numériques utilisés de plus en plus systématiquement. D'autre part, on se sert de l'ordinateur comme outil d'investigation. On effectue des calculs approchés concernant des phénomènes sur lesquels on ne possède que très peu d'information et, de ces calculs approchés, on déduit des conjectures que l'on s'efforcera par la suite de démontrer. Cette démarche, pressentie par John von Neumann, s'est révélée particulièrement féconde.

Bien entendu, un certain nombre de questions propres aux problèmes linéaires peuvent se généraliser aux problèmes non linéaires si, d'une part, les perturbations dues aux non-linéarités sont petites, et si, d'autre part, la structure des problèmes linéarisés correspondants introduit assez de régularité. Il en est ainsi des théorèmes d'existence des solutions de systèmes elliptiques ou paraboliques non linéaires et du comportement asymptotique de solutions d'équations du type :

lorsque F(u) est une non-linéarité d'ordre assez élevé pour introduire un terme négligeable pour u petit. Des problèmes de ce type interviennent par exemple en théorie de la diffusion non linéaire. Plutôt que de développer un tel point de vue, nous allons décrire des problèmes où la non-linéarité joue un rôle dominant. Dans ces exemples, nous dégagerons deux idées. La première idée est que les solutions sont en général peu régulières et donc que les solutions ne pourront avoir un sens qu'en utilisant la théorie des distributions. Encore plus que dans le cadre linéaire, cette théorie s'impose dans le cadre non linéaire. Cette situation introduit une difficulté supplémentaire pour la construction de solutions ou le passage à la limite dans les méthodes approchées. En effet, comme il s'agit d'un problème non linéaire, on sera conduit à étudier la limite d'expressions de la forme F(un), où F est non linéaire. En général, il sera facile de prouver que (un) converge vers une fonction u et F(un) vers une fonction G (au sens des distributions), mais il sera difficile de prouver que F(u) = G. Par exemple, pour n tendant vers l'infini, la fonction un(x) = sin nx converge vers 0 au sens des distributions, tandis que la fonction :
converge vers 1/2, toujours au sens des distributions.

Bien entendu, cette pathologie s'explique par le fait que, pour n tendant vers l'infini, la fonction sin nx oscille de plus en plus vite. On sera donc amené à montrer que, dans un sens convenable, les oscillations des solutions approchées ne sont pas trop grandes ; mais, justement, ce point est en contradiction avec l'existence de solutions singulières, et une analyse très fine est alors nécessaire.[...]

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Équations de Fitzugh-Nagumo - crédits : Encyclopædia Universalis France

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Autres références

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 8 527 mots
    ...problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations auxdérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces.
  • CAFFARELLI LUIS (1948- )

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 1 254 mots
    • 1 média

    Le mathématicien argentino-américain Luis Caffarelli a reçu le prix Abel – l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiques – en 2023, pour « ses contributions essentielles à la théorie des régularités des équations aux dérivées partielles non linéaires ».

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par René TATON
    • 11 465 mots
    • 3 médias
    En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart...
  • CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 1 396 mots
    ...pures et appliquées. Si son œuvre en astronomie et en optique est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité. En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait...
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Voir aussi