DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires

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Les équations de réaction-diffusion

On a vu au chapitre 2 que l'étude du comportement asymptotique des solutions de l'équation de Navier-Stokes était encore très fragmentaire. En particulier, il n'est pas possible de démontrer pour les équations de Navier-Stokes des résultats qualitatifs aussi précis que ceux que l'on observe sur des modèles à un nombre fini de degrés de liberté comme le système de Lorenz. Par contre, pour les équations de type Korteweg-de Vries, la méthode inverse a fourni une description complète du comportement asymptotique. Ce chapitre est consacré aux équations de réaction-diffusion pour lesquelles le comportement asymptotique est encore le problème essentiel. Pour ce type d'équation, on ne dispose pas de méthode inverse. On n'aura, en général, qu'un nombre fini d'ondes solitaires ; mais le rapport de parenté avec les équations différentielles ordinaires est bien plus importante et on peut obtenir, dans certains cas, des démonstrations complètes ; on s'appuie en particulier sur la théorie des systèmes dynamiques.

Les équations (ou systèmes) de réaction-diffusion s'écrivent sous la forme :

u(x) est une fonction vectorielle à valeurs dans Rm définie pour la variable x parcourant un ouvert Ω de Rn. Lorsque Ω est différent de Rn, on suppose que u(x) vérifie sur le bord des conditions aux limites classiques. Dans cette équation, F est une fonction non linéaire régulière définie dans Rn et à valeurs dans Rn ; Δ désigne le laplacien usuel et D(u) est une matrice symétrique positive ou définie positive. Lorsque D est définie positive, le problème est non linéaire et parabolique, lorsque D n'est pas définie positive, on est en présence d'un problème parabolique dégénéré. Dans tous les cas, des méthodes de perturbation permettent de prouver que, pour toute donnée u0(x) définie à l'instant t = 0, il existe au moins, pour t petit et positif, une solution du système (1) qui vérifie u(x, 0) = u0(x).

Ces équations interviennent dans la description de phénomènes non linéaires dans lesquels la dépendance en espace introduit une évolution de type mouvem [...]


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Pour citer l’article

Claude BARDOS, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-equations-non-lineaires/