DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires

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Fonction croissante

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Solution encadrée par deux ondes

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Équations de Fitzugh-Nagumo

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Les équations de réaction-diffusion

On a vu au chapitre 2 que l'étude du comportement asymptotique des solutions de l'équation de Navier-Stokes était encore très fragmentaire. En particulier, il n'est pas possible de démontrer pour les équations de Navier-Stokes des résultats qualitatifs aussi précis que ceux que l'on observe sur des modèles à un nombre fini de degrés de liberté comme le système de Lorenz. Par contre, pour les équations de type Korteweg-de Vries, la méthode inverse a fourni une description complète du comportement asymptotique. Ce chapitre est consacré aux équations de réaction-diffusion pour lesquelles le comportement asymptotique est encore le problème essentiel. Pour ce type d'équation, on ne dispose pas de méthode inverse. On n'aura, en général, qu'un nombre fini d'ondes solitaires ; mais le rapport de parenté avec les équations différentielles ordinaires est bien plus importante et on peut obtenir, dans certains cas, des démonstrations complètes ; on s'appuie en particulier sur la théorie des systèmes dynamiques.

Les équations (ou systèmes) de réaction-diffusion s'écrivent sous la forme :

u(x) est une fonction vectorielle à valeurs dans Rm définie pour la variable x parcourant un ouvert Ω de Rn. Lorsque Ω est différent de Rn, on suppose que u(x) vérifie sur le bord des conditions aux limites classiques. Dans cette équation, F est une fonction non linéaire régulière définie dans Rn et à valeurs dans Rn ; Δ désigne le laplacien usuel et D(u) est une matrice symétrique positive ou définie positive. Lorsque D est définie positive, le problème est non linéaire et parabolique, lorsque D n'est pas définie positive, on est en présence d'un problème parabolique dégénéré. Dans tous les cas, des méthodes de perturbation permettent de prouver que, pour toute donnée u0(x) définie à l'instant t = 0, il existe au moins, pour t petit et positif, une solution du système (1) qui vérifie u(x, 0) = u0(x).

Ces équations interviennent dans la description de phénomènes non linéaires dans lesquels la dépendance en espace introduit une évolution de type mouvem [...]


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«  DÉRIVÉES PARTIELLES ÉQUATIONS AUX  » est également traité dans :

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS, 
  • Martin ZERNER
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Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « améliorer » l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-analyse-numerique/

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
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On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques.Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
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Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous allons […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-theorie-lineaire/

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
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Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(xyz) où les coordonnées x, y et z correspondent à tous les points de l’espace occupés par le mobile traç […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-aux-derivees-partielles-notions-de-base/

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans le chapitre « Équations différentielles et équations aux dérivées partielles »  : […] Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviii e  siècle, les développements des applications des mathé […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_26310

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par 
  • René TATON
  •  • 11 508 mots
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Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart des phénomènes physiques dépendent de plusieurs variables révélait l'importance de ce nouveau ty […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-histoire/#i_26310

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans le chapitre « Une production considérable »  : […] La production de Cauchy a été considérable ; même ses contemporains lui reprochaient à juste titre sa hâte inconsidérée à livrer souvent à l'impression des débauches indignes de son génie, et il y a évidemment un déchet non négligeable dans le demi-millier de notes qu'il a publiées aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Il n'en est pas moins vrai que, même en faisant […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/augustin-louis-cauchy/#i_26310

DARBOUX GASTON (1842-1917)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
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Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale (1872-1873). Il fut maître de conférences (1873-1881), puis professeur de géométrie supérieure (1881) à la faculté des s […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/gaston-darboux/#i_26310

ÉQUATION, mathématique

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Dans le chapitre « Équations différentielles »  : […] Les équations différentielles sont des équations dont les coefficients et les variables sont eux-mêmes des fonctions, et dont les termes contiennent les dérivées de cette fonction ainsi que la fonction elle-même. Les équations différentielles ordinaires impliquent une fonction y d'une seule variable x et se […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equation-mathematique/#i_26310

EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL, 
  • Jean ITARD
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Dans le chapitre « Mathématiques »  : […] Euler est l'auteur de trois grands traités didactiques sur l'analyse infinitésimale, dans lesquels il a exposé sa conception nouvelle du calcul différentiel et intégral et ses rapports avec la géométrie : l' Introductio in analysin infinitorum (1748), les […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leonhard-euler/#i_26310

FORME

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Dans le chapitre « Caustiques et optique écologique »  : […] D'abord, on peut donner raison à Gibson en ce qui concerne l'idée que des discontinuités constitutives de morphologies peuvent être véhiculées par la lumière. Nous considérerons le cas le plus simple, celui des caustiques. Dans l'approximation de l'optique géométrique dans un milieu homogène et isotrope, les caustiques sont faciles à décrire. Soit S 0 une surface émettrice de rayons lumineux, c'e […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/forme/#i_26310

FOURIER JOSEPH (1768-1830)

  • Écrit par 
  • Louis CHARBONNEAU
  •  • 1 865 mots

Dans le chapitre « L'œuvre mathématique »  : […] L'originalité de Fourier réside principalement dans sa théorie de la propagation de la chaleur dans un solide. Sur le plan purement mathématique, les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une «  fonction arbitraire » par une série trigo […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/joseph-fourier/#i_26310

FREDHOLM IVAR (1866-1927)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 320 mots

Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce poste jusqu'à sa nomination, en 1906, comme professeur de mécanique rationnelle et de physique mathématique à la même un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ivar-fredholm/#i_26310

GREEN GEORGE (1793-1841)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 312 mots

Mathématicien anglais, né et mort à Sneinton (près de Nottingham). George Green, à travers sa recherche d'une formulation mathématique de la théorie de l'électricité statique et du magnétisme, est le créateur de la théorie du potentiel. Boulanger de son métier, il s'initia seul aux mathématiques, principalement en lisant les mémoires de Poisson, et peut-être cela explique-t-il la très grande origi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/george-green/#i_26310

HADAMARD JACQUES (1865-1963)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 395 mots

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] Cherchant toujours à rester en contact étroit avec l'« intuition physique », Hadamard a consacré un grand nombre de publications aux équations aux dérivées partielles et s'est toujours intéressé à ce sujet. On lui doit tout d'abord la notion de « problème correctement posé ». Amené à l'introduire par une réflexion sur la signification physique de nombreux problèmes aux limites, il impose aux solu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jacques-hadamard/#i_26310

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23 »  : […] Avant d'aborder le sujet de la théorie des fonctions, Hilbert pose la question : Quelles fonctions ? Autrement dit, comment choisir une classe de fonctions ayant d'assez bonnes propriétés, mais aussi suffisamment riche pour contenir les solutions d'équations « naturelles », par exemple celles de la physique. Nous avons vu (treizième problème) que de telles préoccupations étaient constantes chez lu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_26310

HÖRMANDER LARS (1931-2012)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 243 mots

Mathématicien suédois, lauréat de la médaille Fields en 1962 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 24 janvier1931 à Mjällby (Suède), Lars Hörmander est le fils de l'instituteur d'un petit village de pêcheurs de la côte sud suédoise. Il fait ses études supérieures à l'université de Lund sous la direction de Marcel Riesz (1886-1969) et obtient son doctorat en […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lars-hormander/#i_26310

KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 416 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Mathématiques appliquées »  : […] Kolmogorov a consacré de nombreuses publications aux équations aux dérivées partielles de la physique. Les équations de Navier-Stockes étaient le prototype des équations qui interviennent dans l'étude de la réaction-diffusion, la turbulence et la mécanique statistique. En 1931, Kolmogorov a introduit une vaste classe d'équations aux dérivées partielles dont le champ naturel est l'espace de Hilber […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andrei-nikolaievitch-kolmogorov/#i_26310

KOVALEVSKAÏA SOFIA VASSILIEVNA (1850-1891)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 261 mots

Femme de lettres et mathématicienne russe, née à Moscou et morte à Stockholm. Le nom de Kovalevskaïa reste attaché à la théorie des équations aux dérivées partielles. Issue d'un milieu aristocratique et riche (elle était fille d'un général d'artillerie), Sofia Vassilievna épousa, en 1868, un jeune paléontologiste, V. Kovalewski, et alla étudier les mathématiques à l'université de Heidelberg, où el […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sofia-vassilievna-kovalevskaia/#i_26310

LAX PETER (1926- )

  • Écrit par 
  • Jeremy John GRAY
  • , Universalis
  •  • 657 mots

Mathématicien américain d'origine hongroise, Peter Lax reçut en 2005 le prix Abel « pour ses contributions novatrices à la théorie et à l'application des équations différentielles et au calcul de leurs solutions ». Il est l'un des rares chercheurs dont les découvertes vont des bases théoriques aux applications pratiques d'un domaine des mathématiques. Peter David Lax naît le 1 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/peter-lax/#i_26310

LERAY JEAN (1906-1998)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 417 mots

Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment. Né à Chantenay, près de Nantes, Jean Leray a été élève de l'École normale supérieure de 1926 à 1929. Il a enseigné à la facu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-leray/#i_26310

LICHNEROWICZ ANDRÉ (1915-1998)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 597 mots

Mathématicien français dont les travaux portent sur la géométrie différentielle, la mécanique et la physique mathématique. Né le 21 janvier 1915 à Bourbon-L'Archambault (Allier), élève de l'École normale supérieure, André Lichnerowicz a enseigné dans les universités de Strasbourg (1941-1949), puis de Paris (1949-1952). De 1952 à 1986, il a été professeur de physique mathématique au Collège de Fran […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andre-lichnerowicz/#i_26310

LIE SOPHUS (1842-1899)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 333 mots

Dans le chapitre « La théorie des groupes de Lie »  : […] Sous le nom de «  groupes finis et continus », Lie étudie des groupes de transformations analytiques sur l'espace C n des n variables complexes x 1 , ..., x n , dépendant « effectivement » de r paramètres complexes a 1 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sophus-lie/#i_26310

LIONS PIERRE-LOUIS (1956- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 417 mots

Mathématicien français, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 11 août 1956 à Grasse (Alpes-Maritimes), fils du mathématicien Jacques-Louis Lions (1928-2001), Pierre-Louis Lions est élève à l'École normale supérieure de Paris, puis soutient sa thèse de doctorat en 1979 sous la direction de Haïm Brezis au laboratoire d'ana […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pierre-louis-lions/#i_26310

MÉDAILLES FIELDS 2014

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 1 045 mots
  •  • 1 média

Les médailles Fields récompensent tous les quatre ans de jeunes mathématiciens dont les travaux originaux ont été particulièrement remarqués. En août 2014, à l’occasion du Congrès international des mathématiciens réuni à Séoul en Corée du Sud, quatre chercheurs ont reçu ce prix prestigieux . Le mathématicien franco-brésilien Artur Ávila (né le 29 juin 1979 à Rio de Janeiro) est distingué pour ses […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/medailles-fields-2014/#i_26310

MORAWETZ CATHLEEN (1923-2017)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 432 mots

Mathématicienne américaine d'origine irlandaise, spécialiste des équations aux dérivées partielles. Cathleen Morawetz, née Synge, est la fille du mathématicien irlandais John Lighton Synge (1897-1995). Née le 5 mai 1923 à Toronto où son père enseignait, elle passe son enfance à Dublin avant de retourner à Toronto en 1930. Elle y fait toutes ses études secondaires et le début de ses études supérieu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/cathleen-morawetz/#i_26310

ONDES GRAVITATIONNELLES

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 6 832 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Équations d’Einstein et solutions »  : […] Les équations d’Einstein sont des équations aux dérivées partielles qui relient le tenseur énergie-impulsion T µν d’un système à une quantité, appelée « tenseur de Ricci », qui caractérise la géométrie de l’espace-temps qui l’environne en décrivant mathématiquement la façon dont cet espace-temps est courbe. Rappelons qu’un tenseur est un objet mathématique qui généralise la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ondes-gravitationnelles/#i_26310

OPTIMISATION & CONTRÔLE

  • Écrit par 
  • Ivar EKELAND
  •  • 5 243 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] Soit Ω un ouvert borné de R n . Si l'on cherche, dans un espace fonctionnel approprié, les fonctions x  : Ω →  R N prenant des valeurs données sur le bord de Ω et minimisant l'intégrale : où (∂ x /∂ t ) ( t ) représente la matrice des (∂ […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/optimisation-et-controle/#i_26310

PHYSIQUE - Physique et informatique

  • Écrit par 
  • Claude ROIESNEL
  •  • 6 728 mots

Dans le chapitre « Méthode des éléments finis »  : […] Il existe en physique mathématique trois grandes classes d'équations aux dérivées partielles, illustrées chacune par un type de phénomène bien particulier. Il y a les équations de type elliptique, qui apparaissent dans les études de régime stationnaire en électricité, en mécanique ou en thermique. Les équations de type parabolique sont représentatives des problèmes de diffusion, par exemple de la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/physique-physique-et-informatique/#i_26310

PICARD ÉMILE (1856-1941)

  • Écrit par 
  • Michel HERVÉ
  •  • 1 907 mots

Dans le chapitre « La méthode de Picard »  : […] On appelle souvent méthode de Picard la méthode des approximations successives, dont les applications sont nombreuses : aux équations aux dérivées partielles (dans le Journal de Liouville de 1890) ; aux équations différentielles (dans une note du 18 mars 1891 au Bulletin de la S.M.F.) ; aux équations intégrales (cf. équations […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emile-picard/#i_26310

POINCARÉ HENRI (1854-1912)

  • Écrit par 
  • Gérard BESSON, 
  • Christian HOUZEL, 
  • Michel PATY
  •  • 6 143 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Physique mathématique et physique théorique »  : […] Les travaux mathématiques de Poincaré sur la théorie des équations différentielles l'amenèrent naturellement à s'intéresser à la physique mathématique, en raison du lien de ces équations, en particulier des équations aux dérivées partielles du second ordre, dont la plus simple est celle de Laplace, Δ u  = 0, avec les lois des phénomènes physiques les plus divers. La distribut […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/henri-poincare/#i_26310

THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 194 mots

Les travaux de Joseph Fourier (1768-1830) sur la propagation de la chaleur, entrepris dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère, présentés en 1811 dans un mémoire à l'Académie des sciences et rassemblés en 1822 dans le livre Théorie analytique de la chaleur , ont joué un rôle fondamental dans le développement de l'analyse mathématique. Fourier insistait sur […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-analytique-de-la-chaleur/#i_26310

WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 804 mots

Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en algèbre et en théorie des nombres. Né le 5 mai 1842 à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_26310

WHITTAKER sir EDMUND (1873-1956)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 294 mots

Mathématicien anglais dont les travaux portent principalement sur les équations différentielles et aux dérivées partielles et sur leurs applications à la physique mathématique et à l'astronomie. De 1906 à 1912, Whittaker fut Royal Astronomer of Ireland à Dublin. Il fut nommé alors professeur à l'université d'Édimbourg, où il restera jusqu'à sa retraite en 1946 ; il y a fondé un remarquable groupe […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/whittaker-sir-edmund/#i_26310

YAU SHING-TUNG (1949- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 277 mots

Mathématicien chinois, lauréat de la médaille Fields en 1983 pour ses travaux en géométrie différentielle. Né le 4 avril 1949 à Swatow (Chine), Shing-tung Yau fait ses études supérieures à l'université de Californie à Berkeley, où il soutient sa thèse de doctorat en 1971 sous la direction de Shiing-shu Chern. Enseignant à l'université de l'État de New York à Stony Brook de 1972 à 1974, chercheur à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/shing-tung-yau/#i_26310

Voir aussi

Pour citer l’article

Claude BARDOS, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-equations-non-lineaires/