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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires

Les équations de réaction-diffusion

On a vu au chapitre 2 que l'étude du comportement asymptotique des solutions de l'équation de Navier-Stokes était encore très fragmentaire. En particulier, il n'est pas possible de démontrer pour les équations de Navier-Stokes des résultats qualitatifs aussi précis que ceux que l'on observe sur des modèles à un nombre fini de degrés de liberté comme le système de Lorenz. Par contre, pour les équations de type Korteweg-de Vries, la méthode inverse a fourni une description complète du comportement asymptotique. Ce chapitre est consacré aux équations de réaction- diffusion pour lesquelles le comportement asymptotique est encore le problème essentiel. Pour ce type d'équation, on ne dispose pas de méthode inverse. On n'aura, en général, qu'un nombre fini d' ondes solitaires ; mais le rapport de parenté avec les équations différentielles ordinaires est bien plus importante et on peut obtenir, dans certains cas, des démonstrations complètes ; on s'appuie en particulier sur la théorie des systèmes dynamiques.

Les équations (ou systèmes) de réaction-diffusion s'écrivent sous la forme :

u(x, t ) est une fonction vectorielle à valeurs dans Rm définie pour la variable x parcourant un ouvert Ω de Rn. Lorsque Ω est différent de Rn, on suppose que u(x, t ) vérifie sur le bord des conditions aux limites classiques. Dans cette équation, F est une fonction non linéaire régulière définie dans Rn et à valeurs dans Rn ; Δ désigne le laplacien usuel et D(u) est une matrice symétrique positive ou définie positive. Lorsque D est définie positive, le problème est non linéaire et parabolique, lorsque D n'est pas définie positive, on est en présence d'un problème parabolique dégénéré. Dans tous les cas, des méthodes de perturbation permettent de prouver que, pour toute donnée u0(x) définie à l'instant t = 0, il existe au moins, pour t petit et positif, une solution du système (1) qui vérifie u(x, 0) = u0(x).

Ces équations interviennent dans la description de phénomènes non linéaires dans lesquels la dépendance en espace introduit une évolution de type mouvement brownien. On les rencontre dans la modélisation des réactions chimiques, et, en particulier, dans les phénomènes de combustion, lorsque la vitesse de propagation de la flamme est assez lente par rapport à la cinétique chimique, contrairement au régime de détonation qui, lui, relève des systèmes hyperboliques décrits dans le chapitre 1. On les rencontre aussi dans l'analyse des facteurs intervenant dans la propagation de l'influx nerveux et dans la dynamique des populations.

Les théorèmes d'existence globale, et certains résultats asymptotiques, reposent sur la notion de région invariante, que l'on va décrire sur un exemple simple. Supposons, pour simplifier, que Ω = R ; on considère des solutions u(x, t ) qui tendent vers des limites finies u+ et u- lorsque x tend vers plus ou moins l'infini. On dira qu'une région Q de Rm (contenant u+ et  u-)  est  invariante  si  l'appartenance u0(x) ∈ Q pour tout x réel entraîne, pour t > 0 (éventuellement petit), la relation u(x, t ) ∈ Q. La notion de région invariante conduit à étudier, pour t fixé, le comportement des courbes x ↦ u(x, t ) dans Rm. C'est la généralisation aux équations aux dérivées partielles de l'analyse faite, pour les équations différentielles ordinaires, à l'aide du plan des phases. On a par exemple le théorème suivant :

Supposons que D(u) est une matrice diagonale. Alors, tout cube :

de Rm à faces parallèles aux hyperplans de coordonnées, tel que, sur chaque face, le champ F soit rentrant, est une région invariante. En effet, si la courbe u(x, t ) venait de sortir de Q il y aurait une valeur limite[...]

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Autres références

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 8 527 mots
    ...problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations auxdérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces.
  • CAFFARELLI LUIS (1948- )

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 1 254 mots
    • 1 média

    Le mathématicien argentino-américain Luis Caffarelli a reçu le prix Abel – l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiques – en 2023, pour « ses contributions essentielles à la théorie des régularités des équations aux dérivées partielles non linéaires ».

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par René TATON
    • 11 465 mots
    • 3 médias
    En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart...
  • CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 1 396 mots
    ...pures et appliquées. Si son œuvre en astronomie et en optique est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité. En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait...
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