Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires

Les équations de Navier-Stokes

Le chapitre précédent était consacré aux systèmes hyperboliques non linéaires, domaine où la différence entre le comportement des problèmes linéaires et les comportements des problèmes non linéaires apparaît de manière très évidente. Mais ces systèmes présentent les inconvénients suivants :

Il n'existe que des résultats partiels et la plupart des questions restent largement ouvertes.

Les applications concernent surtout la mécanique des fluides compressibles. Les lois de conservation classiques donnent alors un système d'équations qu'il faut compléter par une loi d'état, par exemple p = RρT (pour les gaz parfaits) ; cette loi dépend du modèle considéré et peut être obtenue soit par des arguments physiques, soit (sans qu'aucune justification mathématique ne soit actuellement disponible) à partir de l'équation de Boltzmann (calcul des coefficients de transport par la méthode de Chapman-Enskog, cf. l. boltzmann). On a donc un système qui est toujours compliqué et particulier.

Pour les raisons qui précèdent, l'intérêt s'est porté sur les équations d' Euler ou de Navier-Stokes, qui s'obtiennent en supposant le fluide incompressible mais en considérant éventuellement des termes de viscosité.

Les équations de Navier-Stokes et d'Euler présentent les propriétés suivantes. Elles sont (lorsque le problème est posé dans R2 ou dans R3) invariantes par le groupe des déplacements, les transformations galiléennes :

a est une constante, et par les changements d'échelle :
h est réel arbitraire et λ > 0. D'autre part, on sait, dans certains cas (en particulier avant la formation des chocs), montrer que les solutions des problèmes compressibles convergent, lorsque la compressibilité disparaît, vers les solutions des équations de Navier-Stokes. Enfin, on dispose de théorèmes d'existence et de méthodes de calcul différents et plus systématiques dans le cas des équations de Navier-Stokes que dans le cas des problèmes de fluides compressibles.

Les équations de Navier-Stokes mettent en jeu n + 1 inconnues dans un ouvert Ω de Rn (avec n = 2 ou 3), un champ de vecteurs U = (u1, u2, ..., un), et une pression p. Elles s'écrivent sous la forme :

n désigne la normale extérieure à la frontière de l'ouvert :
Le cas ν = 0 correspond aux équations d'Euler, qui sont donc antérieures aux équations de Navier-Stokes, la contribution de Navier étant d'approcher la viscosité par le terme ν Δ u, ν > 0. Ce terme, qui peut être très petit, est de l'ordre de 1/R (où R est le nombre de Reynolds défini dans aérodynamique) : il permet cependant de simplifier considérablement l'analyse mathématique.

Comme dans le chapitre 1, u(x, t) représente un champ de vitesse du fluide ; ainsi, en supposant que u(x, t) est une fonction régulière, on est conduit à introduire les trajectoires des particules du fluide, données par les équations :

Compte tenu de (3), le champ u(x, t) est soit tangent au bord ∂Ω de Ω si ν = 0, soit nul sur ∂Ω ; ainsi, les trajectoires x(t) restent à l'intérieur de Ω et, pour t fixé, l'application de Ω dans Ω définie par l'équation (5) :

est une bijection de Ω sur Ω. La relation (2) est équivalente, d'après un théorème dû à Liouville, au fait que l'application x0 ↦ x(t) conserve les volumes.

L'équation de conservation de la masse s'écrit sous la forme :

On en déduit que si la densité ρ(x, t) est homogène et égale à 1 (pour fixer les idées) à l'instant zéro, elle reste constamment égale à 1. L'équation (1) n'est alors que l'équation classique de la mécanique, f = m→γ, dans laquelle le premier membre représente l'accélération et le second membre l'ensemble des forces qui[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Fonction croissante - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction croissante

Solution encadrée par deux ondes - crédits : Encyclopædia Universalis France

Solution encadrée par deux ondes

Équations de Fitzugh-Nagumo - crédits : Encyclopædia Universalis France

Équations de Fitzugh-Nagumo

Autres références

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 8 527 mots
    ...problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations auxdérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces.
  • CAFFARELLI LUIS (1948- )

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 1 254 mots
    • 1 média

    Le mathématicien argentino-américain Luis Caffarelli a reçu le prix Abel – l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiques – en 2023, pour « ses contributions essentielles à la théorie des régularités des équations aux dérivées partielles non linéaires ».

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par René TATON
    • 11 465 mots
    • 3 médias
    En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart...
  • CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 1 396 mots
    ...pures et appliquées. Si son œuvre en astronomie et en optique est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité. En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait...
  • Afficher les 34 références

Voir aussi