DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires

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Les équations de Navier-Stokes

Le chapitre précédent était consacré aux systèmes hyperboliques non linéaires, domaine où la différence entre le comportement des problèmes linéaires et les comportements des problèmes non linéaires apparaît de manière très évidente. Mais ces systèmes présentent les inconvénients suivants :

Il n'existe que des résultats partiels et la plupart des questions restent largement ouvertes.

Les applications concernent surtout la mécanique des fluides compressibles. Les lois de conservation classiques donnent alors un système d'équations qu'il faut compléter par une loi d'état, par exemple p = RρT (pour les gaz parfaits) ; cette loi dépend du modèle considéré et peut être obtenue soit par des arguments physiques, soit (sans qu'aucune justification mathématique ne soit actuellement disponible) à partir de l'équation de Boltzmann (calcul des coefficients de transport par la méthode de Chapman-Enskog, cf. l. boltzmann). On a donc un système qui est toujours compliqué et particulier.

Pour les raisons qui précèdent, l'intérêt s'est porté sur les équations d'Euler ou de Navier-Stokes, qui s'obtiennent en supposant le fluide incompressible mais en considérant éventuellement des termes de viscosité.

Les équations de Navier-Stokes et d'Euler présentent les propriétés suivantes. Elles sont (lorsque le problème est posé dans R2 ou dans R3) invariantes par le groupe des déplacements, les transformations galiléennes :

a est une constante, et par les changements d'échelle :
h est réel arbitraire et λ > 0. D'autre part, on sait, dans certains cas (en particulier avant la formation des chocs), montrer que les solutions des problèmes compressibles convergent, lorsque la compressibilité disparaît, vers les solutions des équations de Navier-Stokes. Enfin, on dispose de théorèmes d'existence et de méthodes de calcul différents et plus systématiques dans le cas des équations de Navier-Stokes que dans le cas des problèmes de fluides compressibles.

Les équations de Navier-Stokes mettent en jeu n + 1 inconnues dans un ouvert Ω de Rn (avec n = 2 ou 3), un champ de vecteurs U = (u1, u2, ..., un), et une pression p. Elles s'écrivent sous la forme :

n désigne la normale extérieure à la frontière de l'ouvert :
Le cas ν = 0 correspond aux équations d'Euler, qui sont donc antérieures aux équations de Navier-Stokes, la contribution de Navier étant d'approcher la viscosité par le terme ν Δ u, ν > 0. Ce terme, qui peut être très petit, est de l'ordre de 1/R (où R est le nombre de Reynolds défini dans aérodynamique) : il permet cependant de simplifier considérablement l'analyse mathématique.

Comme dans le chapitre 1, u(xt) représente un champ de vitesse du fluide ; ainsi, en supposant que u(xt) est une fonction régulière, on est conduit à introduire les trajectoires des particules du fluide, données par les équations :

Compte tenu de (3), le champ u(xt) est soit tangent au bord ∂Ω de Ω si ν = 0, soit nul sur ∂Ω ; ainsi, les trajectoires x(t) restent à l'intérieur de Ω et, pour t fixé, l'application de Ω dans Ω définie par l'équation (5) :

est une bijection de Ω sur Ω. La relation (2) est équivalente, d'après un théorème dû à Liouville, au fait que l'application x0 ↦ x(t) conserve les volumes.

L'équation de conservation de la masse s'écrit sous la forme :

On en déduit que si la densité ρ(xt) est homogène et égale à 1 (pour fixer les idées) à l'instant zéro, elle reste constamment égale à 1. L'équation (1) n'est alors que l'équation classique de la mécanique, f = m→γ, dans laquelle le premier membre représente l'accélération et le second membre l'ensemble des forces qui contribuent au mouvement ; f représente les forces extérieures comme la gravitation, ν Δ u l'action des forces de viscosité et ∇p les forces de pression. Contrairement à ce qui se passe dans la théorie des gaz compressibles, où la pression est calculée à partir des autres inconnues (vitesse, température et densité), par une loi d'état, ici la pression n'est créée que par l'incompressibilité et on peut considérer ∇p comme un multiplicateur de Lagrange lié à la relation ∇u = 0. On peut d'ailleurs éliminer ce terme, soit en utilisant le formalisme de l'analyse fonctionnelle, soit celui des opérateurs pseudodifférentiels. Dans le cas où Ω = R3, on peut faire un calcul explicite. En prenant la divergence des deux membres de (1), on obtient :

La dernière équation donne p par c [...]

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Pour citer l’article

Claude BARDOS, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 janvier 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-equations-non-lineaires/