DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires
Les équations de Navier-Stokes
Le chapitre précédent était consacré aux systèmes hyperboliques non linéaires, domaine où la différence entre le comportement des problèmes linéaires et les comportements des problèmes non linéaires apparaît de manière très évidente. Mais ces systèmes présentent les inconvénients suivants :
Il n'existe que des résultats partiels et la plupart des questions restent largement ouvertes.
Les applications concernent surtout la mécanique des fluides compressibles. Les lois de conservation classiques donnent alors un système d'équations qu'il faut compléter par une loi d'état, par exemple p = RρT (pour les gaz parfaits) ; cette loi dépend du modèle considéré et peut être obtenue soit par des arguments physiques, soit (sans qu'aucune justification mathématique ne soit actuellement disponible) à partir de l'équation de Boltzmann (calcul des coefficients de transport par la méthode de Chapman-Enskog, cf. l. boltzmann). On a donc un système qui est toujours compliqué et particulier.
Pour les raisons qui précèdent, l'intérêt s'est porté sur les équations d' Euler ou de Navier-Stokes, qui s'obtiennent en supposant le fluide incompressible mais en considérant éventuellement des termes de viscosité.
Les équations de Navier-Stokes et d'Euler présentent les propriétés suivantes. Elles sont (lorsque le problème est posé dans R2 ou dans R3) invariantes par le groupe des déplacements, les transformations galiléennes :
Les équations de Navier-Stokes mettent en jeu n + 1 inconnues dans un ouvert Ω de Rn (avec n = 2 ou 3), un champ de vecteurs U = (u1, u2, ..., un), et une pression p. Elles s'écrivent sous la forme :
Comme dans le chapitre 1, u(x, t) représente un champ de vitesse du fluide ; ainsi, en supposant que u(x, t) est une fonction régulière, on est conduit à introduire les trajectoires des particules du fluide, données par les équations :
Compte tenu de (3), le champ u(x, t) est soit tangent au bord ∂Ω de Ω si ν = 0, soit nul sur ∂Ω ; ainsi, les trajectoires x(t) restent à l'intérieur de Ω et, pour t fixé, l'application de Ω dans Ω définie par l'équation (5) :
L'équation de conservation de la masse s'écrit sous la forme :
On en déduit que si la densité ρ(x, t) est homogène et égale à 1 (pour fixer les idées) à l'instant zéro, elle reste constamment égale à 1. L'équation (1) n'est alors que l'équation classique de la mécanique, f = m→γ, dans laquelle le premier membre représente l'accélération et le second membre l'ensemble des forces qui[...]
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Écrit par
- Claude BARDOS : professeur à l'université de Paris-Nord.
Classification
Pour citer cet article
Claude BARDOS. DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Médias
Fonction croissante
Encyclopædia Universalis France
Solution encadrée par deux ondes
Encyclopædia Universalis France
Équations de Fitzugh-Nagumo
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
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