DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires
L'équation de Korteweg et de Vries
En 1865, Scott Russell observa sur un canal rectiligne une onde de surface créée par le choc de deux péniches, qu'il appela onde solitaire ; il fut frappé par la stabilité du phénomène et raconte qu'il put la suivre à cheval, à vitesse constante, pendant plusieurs kilomètres.
Pour expliquer ce phénomène, dit de soliton, on peut utiliser un système de deux équations à une dimension d'espace :
En effectuant un nouveau développement asymptotique, lié à l'amplitude de l'onde, Korteweg et de Vries obtinrent en 1895 l'équation :
Korteweg et de Vries observèrent que cette équation admet des solutions « ondes solitaires » de la forme :
Intuitivement, on peut expliquer cette conservation de la forme par la compétition de deux phénomènes, en disant que l'équation (3) est un « mélange » des équations :
En multipliant (5) par u et en intégrant de − ∞ à + ∞, on observe que l'expression :
En fait, l'équation de Korteweg-de Vries possède des solitons car les phénomènes de création de chocs et de dispersion se compensent pour arriver à un état d'équilibre. En 1965, Kruskal, Miura et Zabusky remarquèrent une analogie entre le système (1) et le modèle de Fermi-Pasta-Ulam. Ce modèle avait été introduit en 1950 pour décrire la répartition de l'énergie sur un cristal non conducteur ; il était composé de 32 équations différentielles ordinaires non linéaires couplées et a été calculé par approximation numérique sur l'ordinateur Maniac I de Los Angeles. Les auteurs observèrent, au lieu d'une répartition uniforme de l'énergie sur tout le cristal, des phénomènes de périodicité ou de presque périodicité. Ces phénomènes furent expliqués beaucoup plus tard par Arnold, Moser et Kolmogorov dans le cadre de la théorie des systèmes hamiltoniens. Kruskal et d'autres entreprirent alors de discrétiser l'équation de Korteweg-de Vries et découvrirent deux types de phénomènes. a) Dans le cas où on considère des données initiales ϕ(x) périodiques en espace, la solution reste périodique en espace mais est une fonction presque périodique[...]
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Écrit par
- Claude BARDOS : professeur à l'université de Paris-Nord.
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Pour citer cet article
Claude BARDOS, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :
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Fonction croissante
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Fonction croissante
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Solution encadrée par deux ondes
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Solution encadrée par deux ondes
Une solution quelconque encadrée par deux ondes solitaires.
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Régions invariantes pour les équations de Fitzugh-Nagumo. R est le grand rectangle attracteur et R…
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