DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires

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L'équation de Korteweg et de Vries

En 1865, Scott Russell observa sur un canal rectiligne une onde de surface créée par le choc de deux péniches, qu'il appela onde solitaire ; il fut frappé par la stabilité du phénomène et raconte qu'il put la suivre à cheval, à vitesse constante, pendant plusieurs kilomètres.

Pour expliquer ce phénomène, dit de soliton, on peut utiliser un système de deux équations à une dimension d'espace :

dans lesquelles h désigne la hauteur de l'eau et u la vitesse du fluide, dans un canal supposé indéfiniment long et peu profond ; g est une constante qui représente la gravité. Le système (1), (2) est un système hyperbolique non linéaire, du type évoqué dans le chapitre 2, et il s'obtient en écrivant les équations classiques des fluides incompressibles et en introduisant un paramètre petit lié à la profondeur du canal.

En effectuant un nouveau développement asymptotique, lié à l'amplitude de l'onde, Korteweg et de Vries obtinrent en 1895 l'équation :

où α et β désignent des constantes. Par un changement de variables et d'inconnues, on peut écrire l'équation sous la forme :

Korteweg et de Vries observèrent que cette équation admet des solutions « ondes solitaires » de la forme :

ce sont des ondes qui se propagent avec la vitesse c sans se déformer. Cette situation est fondamentalement différente de celle qui peut se produire dans un modèle linéaire. Les équations linéaires dont les solutions se propagent sont les équations hyperboliques ; les vitesses de propagation sont imposées par l'équation, et la forme de la solution qui se propage est indépendante de la vitesse. Dans cet exemple non linéaire, on peut avoir des ondes qui se propagent avec n'importe quelle vitesse positive, mais leur forme est imposée par la vitesse selon la formule (4). En particulier, plus la vitesse est grande, plus la solution est grande.

Intuitivement, on peut expliquer cette conservation de la forme par la compétition de deux phénomènes, en disant que l'équation (3) est un « mélange » des équations :

En multipliant (5) par u et en intégrant de − ∞ à + ∞, on observe que l'expr [...]

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Claude BARDOS, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 décembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-equations-non-lineaires/