CINÉMATIQUE

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La cinématique est la théorie qui, à l'intérieur de la mécanique, a pour objet la description des mouvements des systèmes matériels.

Deux notions sont absolument indispensables à l'élaboration de la cinématique sous sa forme classique : celle de solide invariable et celle de temps. Muni d'un espace euclidien dans lequel il peut mesurer des longueurs et situer des points géométriques et des solides, muni d'un dispositif chronométrique à l'aide duquel il peut mesurer des durées de manière continue et affecter une date à tout événement instantané, le mécanicien se livre alors à la description des mouvements des systèmes physiques en commençant par le plus simple de ces systèmes, celui qui est constitué d'un seul solide.

Étudier, par rapport à un repère (R) = (O, x, y, z), le mouvement d'un solide (S), c'est étudier le mouvement, par rapport à (R), de n'importe quel point MS lié à (S), ce qui donne toute son importance à la cinématique du point lié à un solide : il s'agit, en somme, de savoir où se trouve tel point à un instant quelconque, s'il y passe vite et si, ensuite, il ira plus ou moins vite ; c'est pourquoi on caractérise le mouvement d'un point MS par rapport au repère (R) en étudiant les variations du vecteur de situation de MS dans (R), soit OMS, en fonction de la variable de temps t correspondant au dispositif chronométrique utilisé. Cette étude conduit à définir les notions de trajectoire, de vecteurs cinématiques du premier ordre (vitesse) et du second ordre (accélération) ; elle amène à préciser ce qu'on entend par mouvement accéléré, par mouvement décéléré (ou retardé) ; l'étude du mouvement de MS dans (R) fournit des renseignements sur ces nouvelles notions, bien qu'initialement elle ne consiste qu'en l'étude de OMS = L(t), fonction vectorielle du temps exprimée par exemple sous la forme xx + yy + zz, c'est-à-dire à l'aide de ses composantes x, y, z dans la base (x, y, z) associée aux directions d'axes de (R). La cinématique se situe dans un contexte mathématique, où les points sont évidemment dépourvus de masse. En mécanique, il en est tout autrement des corps solides : ils sont pesants ; l'introduction de cette nouvelle grandeur définit la cinétique.

Solide invariable et temps

Solide invariable

La notion abstraite de solide invariable, qui est essentielle pour le repérage, est fondée sur des observations simples.

Si l'on a marqué sur deux objets, S et Σ (constitués de matériaux tels qu'acier, bois ou pierre), deux points, A et B, sur S et deux points, α et β, sur Σ, et si les formes de ces deux objets permettent de réaliser les coïncidences de A avec α et de Β avec β, alors il apparaît que :

– dans tout déplacement de Σ par rapport à S respectant ces deux coïncidences, il existe sur S une infinité de points C1, ..., Ci, ..., Cn, que l'on peut marquer, et il existe sur Σ une infinité de points γ1, ..., γi, ..., γn, que l'on peut également marquer et qui restent en coïncidence géométrique chacun à chacun (C1 avec γ1, ..., Ci avec γi, ..., Cn avec γn) ; les points Ci constituent la droite AB ; les points γi constituent la droite αβ (exemple : déplacement d'une porte Σ par rapport à un mur S) ;

– si l'on oriente les droites AB et αβ dans le sens de A vers B et de α vers β, la coïncidence de A et α et la coïncidence des axes définis par ces orientations entraînent les coïncidences de B et β, ..., de Ci et γi, etc. ;

– si le corps S présente une arête rectiligne AB et le corps Σ une arête rectiligne αβ, il est possible d'amener ces arêtes rectilignes (ou règles) en coïncidence géométrique d'une infinité de façons, A venant, par exemple, coïncider avec un point arbitraire γi de αβ : il est possible de faire glisser AB sur αβ, c'est le cas d'une porte que l'on va sortir de ses gonds (fig. 1).

Solide invariable

Dessin : Solide invariable

Les trois propriétés relatives aux éléments A, B, Ci. de l'objet S et aux éléments a, ß, ɣ. de l'objet s permettent de définir le solide invariable. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Les solides naturels vérifient approximativement les trois propriétés précédentes. Par idéalisation, le géomètre imagine des solides (dits invariables) qui vérifient rigoureusement ces propriétés et constituent un schéma géométrique utile des solides naturels (c'est en ce sens approximatif que l'on peut considérer l'ensemble de la terre comme un corps solide).

Distance

La distance est une grandeur attachée à tout ensemble de deux points A et B d'un solide invariable ; c'est une grandeur mesurable, car on sait définir l'égalité et la somme de deux distances : si l'on peut faire coïncider AB et αβ, on dit que les distances AB et αβ sont égales ; si C est un point de la droite AB compris entre A et B, on dit que la distance AB est la somme des distances AC et CB. La mesure d'une distance est alors conditionnée par le choix d'une unité de mesure : l'unité de mesure internationale de distance est le mètre.

D'autre part, si un solide naturel comporte des arêtes constituant un triangle, la somme des mesures de ses angles est approximativement égale à 180 degrés ; on postule que c'est une propriété rigoureuse des solides invariables : autrement dit, la géométrie euclidienne, géométrie des solides invariables, rend compte avec beaucoup de précision des propriétés des solides naturels. On peut, dans ce cas, repérer l'espace à l'aide d'un trièdre trirectangle direct (O, x, y, z) et un espace euclidien se trouve ainsi constitué, dans lequel un point est défini par ses trois coordonnées cartésiennes x, y, z, et la distance de deux points voisins est donnée par l'expression (caractéristique des espaces euclidiens) :

qui est invariante dans tout changement de repère euclidien.

Temps

À la notion de temps se rattachent les notions suivantes : simultanéité, ordre de succession de deux instants, durée de l'intervalle qui les sépare, notions dont la vie courante donne l'intuition.

Si des événements brefs se produisent dans une région limitée de l'espace où se trouvent des observateurs (munis de tous les appareils utiles), chacun de ces observateurs sait dire si, quant à lui, en fonction des appareils dont il dispose, ces événements sont simultanés ou si l'un d'eux est antérieur ou postérieur à l'autre (on sait les difficultés qui s'attachent à l'arrivée d'une course particulièrement serrée). À la limite, on dit qu'un événement bref est instantané : par induction, on admet que simultanéité et ordre de succession d'événements instantanés sont indépendants de l'observateur situé au voisinage de l'événement.

Si des phénomènes se produisent dans des régions de l'espace éloignées les unes des autres et si les observateurs sont eux-mêmes éloignés tant les uns des autres que des phénomènes qu'ils étudient, l'expérience montre immédiatement que ces observateurs ne sont pas en mesure d'estimer la simultanéité de deux phénomènes d'après la simultanéité des sensations que ceux-ci provoquent en chacun d'eux. Par exemple, le phénomène lumineux et le phénomène acoustique accompagnant un coup de canon sont estimés simultanés par un observateur situé au voisinage immédiat du point de tir, tandis qu'un observate [...]

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Solide invariable

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Représentation cylindro-polaire

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Accélération tangentielle

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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
  • : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Jeanine MOREL, « CINÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/cinematique/