CINÉMATIQUE

Cinématique du solide

Étudier le mouvement d'un solide, c'est être en mesure d'indiquer la trajectoire, la vitesse et l'accélération de tous les points qui lui sont liés. Le premier de ces trois objectifs n'admet pas de réponse générale : sauf cas particuliers, les trajectoires des différents points liés à un solide n'ont aucun rapport simple ; ainsi, dans le mouvement „en ligne droite“ d'une bicyclette, un point lié à un moyeu de roue admet une trajectoire rectiligne par rapport au sol (il est immobile par rapport au cadre), tandis qu'un point de la bande de roulement d'un pneumatique (supposé rigide) admet une trajectoire cycloïdale par rapport au sol (et circulaire par rapport au cadre).

Par contre, dès que sont connues la vitesse et l'accélération d'un point lié au solide, et que la manière dont varie en fonction du temps l'orientation du solide (S) dans le repère (R) est précisée, les vitesses et les accélérations de tous les points liés au solide peuvent être évaluées.

Pour orienter un solide (S) dans un repère (R), on utilise les vecteurs x_S, y_S, z_S, et pour étudier les variations de cette orientation en fonction du temps, on étudie les variations des vecteurs x_S, y_S, z_S par rapport aux vecteurs (x, y, z) de la base du repère (R). Il ne peut se présenter que trois cas :

– ou bien x_S, y_S, z_S sont indépendants du temps et l'on dit que le mouvement du solide (S) par rapport au repère (R) est un mouvement de translation ou encore que (S) est en translation par rapport à (R) ; on peut alors, sans restreindre la généralité du problème, supposer que x_S = x, y_S = y, z_S = z (cas du mouvement d'un tiroir par rapport à une table où il coulisse, ou inversement mouvement de la table par rapport au tiroir) ; les dérivées x′_S, y′_S, z′_S sont nulles (fig. 4) ;

– ou bien l'un des trois vecteurs x_S, y_S, z_S est indépendant du temps ; on peut, sans restreindre la généralité du problème, supposer que z_S = z (cas du mouvement de la Terre par rapport au Soleil) ; dans ce cas l'orientation angulaire de (S) par rapport à (R) est caractérisée par la fonction :

– ou bien les trois vecteurs x_S, y_S, z_S dépendent du temps ; dans ce cas (mouvement d'une toupie, par exemple) l'orientation angulaire de (S) par rapport à (R) est précisée en général par la donnée de trois angles ; on choisit souvent les angles d'Euler ainsi définis : n étant un vecteur unitaire (dit nodal) orthogonal à z et à z_S, ces trois angles sont la précession Ψ (t) = (x, n) mesurée sur z, la nutation θ (t) = (z, z_S) mesurée sur n, la rotation propre ϕ (t) = (n, x_S) mesurée sur z_S(fig. 6). L'étude des variations de l'orientation d'un solide (S) par rapport à un repère (R) comporte la démonstration du fait que, dans tous les cas, il existe un vecteur ω^R_S tel que e_S = ω^R_S ∧ e_S, où e_S est l'un des vecteurs unitaires x_S, y_S ou z_S ; le vecteur ω = ω^R_S est appelé le taux de rotation du solide (S) dans le repère (R).

Si le solide (S) est en translation par rapport à (R), son taux de rotation est nul ; si le mouvement de (S) par rapport à (R) est tel qu'un axe lié à (S) garde une orientation constante dans (R), le taux de rotation ω^R_S est égal à α′ z ; si l'orientation angulaire de (S) par rapport à (R) fait intervenir les trois angles d'Euler, le taux de rotation est égal à Ψ′z + θ′n + ϕ′z_S. Dérivant alors par rapport au temps dans le repère[...]