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CINÉMATIQUE

Cinématique d'un point lié à un solide

Cinématique d'un point

On dit qu'un repère (T) et un solide (S) sont liés l'un à l'autre si tout point de (S) a des coordonnées constantes dans (T) ; on démontre aisément que la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que trois points non alignés de (S) aient des coordonnées constantes dans (T), c'est-à-dire indépendantes de la valeur numérique prise par la variable de temps.

Il est possible de lier à (S) une infinité de repères ; soit (TS) l'un d'entre eux, trirectangle direct, d'origine OS et dont s, ys, zs sont les vecteurs unitaires des axes :

on désigne avec un indice inférieur tout élément géométrique lié à (S) : point MS, droite ΔS, plan πS ; on dit, par exemple, qu'un point géométrique MS est lié à (S) si ses coordonnées sont des constantes dans un repère (TS). Il arrive souvent que, par souci de simplification d'écriture, on désigne par (S) un repère lié au solide (S).

Parmi tous les repères (S), on n'en fait souvent intervenir qu'un seul dans les raisonnements : il est choisi à cause des simplifications qu'il apporte dans l'étude du mouvement du solide ; celle-ci comporte l'étude du mouvement de chacun des points (MS étant l'un d'entre eux) qui sont liés à ce solide.

À la date t, MS coïncide avec le point P(t) fixe dans (R) : P(t) est appelé position de MS à la date t dans (R).

Trajectoire, vitesse et accélération

On appelle trajectoire de MS dans le repère (R), l'ensemble des points fixes de (R) avec lesquels le point MS vient en coïncidence dans la succession des événements, ou encore l'ensemble des positions de MS dans (R). On désigne cette trajectoire par Γ(R)(MS) pour marquer qu'elle dépend de MS et de (R) : par exemple, tel point qui admet relativement à un wagon une trajectoire rectiligne peut admettre une trajectoire parabolique par rapport au sol sur lequel se déplace le wagon. Quand on ne considère qu'un seul repère et un seul point, on peut désigner la trajectoire par Γ, puisque cette notation simplifiée n'introduit aucune ambiguïté.

On appelle vitesse de MS dans le repère (R) le vecteur dérivé par rapport au temps, dans le repère (R), du vecteur de situation OMS = L(t) ; on note ce vecteur vitesse V(R)(MS) :

si aucune confusion ne peut s'introduire.

On appelle accélération de MS dans le repère (R) le vecteur dérivé par rapport au temps, dans le repère (R), du vecteur vitesse V(R)(MS) ; on note ce vecteur accélération J(R)(MS) :

Si aucune confusion ne peut s'introduire, on simplifie la notation :

Ces deux vecteurs cinématiques s'expriment par :

si l'on fait intervenir les vecteurs unitaires liés à (R) ; x′ et x″ sont les deux premières dérivées de x par rapport au temps.

Représentation cylindro-polaire - crédits : Encyclopædia Universalis France

Représentation cylindro-polaire

Il est possible toutefois de les exprimer en utilisant des représentations géométriques beaucoup plus générales que la représentation cartésienne : par exemple, la représentation cylindro-polaire (fig. 2).

Accélération tangentielle - crédits : Encyclopædia Universalis France

Accélération tangentielle

Dans la pratique, un usage fréquent exprime ces vecteurs selon la trajectoire et „perpendiculairement“ à la trajectoire, ce qui se traduit dans la technique du calcul par l'intervention de leurs composantes sur un vecteur unitaire tangent τ et sur le vecteur unitaire ν normal principal en P(t), à la trajectoire Γ orientée par τ et sur laquelle est définie l'abscisse curviligne s = P(0)P(t) ; νR désigne le bipoint d'origine P(t) et d'extrémité C(t), centre de courbure de Γ en P(t) (fig. 3). Le vecteur Jτ = sτ est dit accélération tangentielle ; le vecteur Jν = (s2/R)ν est dit accélération normale. Cette façon d'écrire présente un intérêt tout particulier dans le cas d'une trajectoire rectiligne où V et J s'expriment très simplement par les relations : V = s[...]

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Écrit par

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
  • : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Solide invariable - crédits : Encyclopædia Universalis France

Solide invariable

Représentation cylindro-polaire - crédits : Encyclopædia Universalis France

Représentation cylindro-polaire

Accélération tangentielle - crédits : Encyclopædia Universalis France

Accélération tangentielle

Autres références

  • EINSTEIN ALBERT (1879-1955)

    • Écrit par Michel PATY
    • 6 493 mots
    • 7 médias
    ...durées dans le système considéré au repos par rapport à ces grandeurs définies dans le système en mouvement :
    Ce sont des propriétés physiques de nature cinématique. Il déduisit également la nouvelle formule relativiste d'addition des vitesses :
    pour des vitesses colinéaires v et w), qui gouverne...
  • ENGRENAGES

    • Écrit par Michel CAZIN, Étienne GAIGNEBET
    • 2 143 mots
    • 9 médias
    Étant donné un repère de référence que l'on notera (O), repère lié à un bâti, et deux solides S1 et S2 tournant autour d'axes fixes par rapport à (O) : Δ0,1, Δ0,2, on recherche les surfaces de contact Σ1 et Σ2 de S1 et de S2 pour qu'une rotation de S1 entraîne une rotation...
  • FLUIDES MÉCANIQUE DES

    • Écrit par Jean-François DEVILLERS, Claude FRANÇOIS, Bernard LE FUR
    • 8 791 mots
    • 4 médias
    Imaginons à l'intérieur d'un fluide une surface fermée entourant un point M, à l'intérieur de laquelle se trouvent, à un instant donné t, un certain nombre de molécules dont le centre d'inertie se déplace avec une certaine vitesse. Lorsque les dimensions de la surface tendent...
  • FORME

    • Écrit par Jean PETITOT
    • 27 344 mots
    ...mouvement qui en est le phénomène. La mécanique doit se restreindre à la légalisation catégoriale et à la détermination mathématique de ce phénomène. Kant développe alors une lecture transcendantale d'abord de la cinématique (le groupe de la relativité galiléenne) et ensuite de la mécanique (lois...
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Voir aussi