CINÉMATIQUE

Cinématique d'un point

On dit qu'un repère (T) et un solide (S) sont liés l'un à l'autre si tout point de (S) a des coordonnées constantes dans (T) ; on démontre aisément que la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que trois points non alignés de (S) aient des coordonnées constantes dans (T), c'est-à-dire indépendantes de la valeur numérique prise par la variable de temps.

Il est possible de lier à (S) une infinité de repères ; soit (T_S) l'un d'entre eux, trirectangle direct, d'origine O_S et dont _s, y_s, z_s sont les vecteurs unitaires des axes :

Parmi tous les repères (S), on n'en fait souvent intervenir qu'un seul dans les raisonnements : il est choisi à cause des simplifications qu'il apporte dans l'étude du mouvement du solide ; celle-ci comporte l'étude du mouvement de chacun des points (M_S étant l'un d'entre eux) qui sont liés à ce solide.

À la date t, M_S coïncide avec le point P(t) fixe dans (R) : P(t) est appelé position de M_S à la date t dans (R).

Trajectoire, vitesse et accélération

On appelle trajectoire de M_S dans le repère (R), l'ensemble des points fixes de (R) avec lesquels le point M_S vient en coïncidence dans la succession des événements, ou encore l'ensemble des positions de M_S dans (R). On désigne cette trajectoire par Γ^(R)(M_S) pour marquer qu'elle dépend de M_S et de (R) : par exemple, tel point qui admet relativement à un wagon une trajectoire rectiligne peut admettre une trajectoire parabolique par rapport au sol sur lequel se déplace le wagon. Quand on ne considère qu'un seul repère et un seul point, on peut désigner la trajectoire par Γ, puisque cette notation simplifiée n'introduit aucune ambiguïté.

On appelle vitesse de M_S dans le repère (R) le vecteur dérivé par rapport au temps, dans le repère (R), du vecteur de situation OM_S = L(t) ; on note ce vecteur vitesse V^(R)(M_S) :

On appelle accélération de M_S dans le repère (R) le vecteur dérivé par rapport au temps, dans le repère (R), du vecteur vitesse V^(R)(M_S) ; on note ce vecteur accélération J^(R)(M_S) :

Si aucune confusion ne peut s'introduire, on simplifie la notation :

Ces deux vecteurs cinématiques s'expriment par :

Il est possible toutefois de les exprimer en utilisant des représentations géométriques beaucoup plus générales que la représentation cartésienne : par exemple, la représentation cylindro-polaire (fig. 2).

Dans la pratique, un usage fréquent exprime ces vecteurs selon la trajectoire et „perpendiculairement“ à la trajectoire, ce qui se traduit dans la technique du calcul par l'intervention de leurs composantes sur un vecteur unitaire tangent τ et sur le vecteur unitaire ν normal principal en P(t), à la trajectoire Γ orientée par τ et sur laquelle est définie l'abscisse curviligne s = P(0)P(t) ; νR désigne le bipoint d'origine P(t) et d'extrémité C(t), centre de courbure de Γ en P(t) (fig. 3). Le vecteur Jτ = s″τ est dit accélération tangentielle ; le vecteur J_ν = (s′²/R)ν est dit accélération normale. Cette façon d'écrire présente un intérêt tout particulier dans le cas d'une trajectoire rectiligne où V et J s'expriment très simplement par les relations : V = s[...]