CINÉMATIQUE

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Cinématique des systèmes de solides

Principes

On vient de voir précédemment que la situation d'un solide (S) dans un repère (R) dépend très généralement de la donnée de six fonctions du temps, à savoir trois coordonnées d'un point lié au solide (S) et trois angles caractérisant l'orientation de (S). On désignera par qα(t) l'une quelconque de ces six fonctions du temps (α = 1, 2, ..., 6). Dans bien des cas le repère (R) sera lui-même un repère géométrique lié à un solide (R), par conséquent la position d'un solide (S) par rapport à un autre solide (R) dépend très généralement de six paramètres.

On dit qu'on établit une liaison entre (S) et (R) si l'on suppose que les fonctions qα(t), qα(t) et t obéissent à l'identité :

On dit qu'on établit l liaisons (1 ≤ l ≤ 5) entre (S) et (R) si l'on suppose que qα, qα et t obéissent aux identités :

Soit maintenant un ensemble de p solides, considérés dans un ordre arbitraire, mais précisé (par exemple, celui du montage) et supposons que cet ordre soit justement celui des nombres j avec j = 1, 2, ..., p. Tout ce qui a été dit à propos de (S) et (R) en ce qui concerne les liaisons, les trajectoires, les vitesses et les accélérations peut être répété à propos des solides k et k + 1 (où k = 1, ..., p — 1). Cette « chaîne » de solides dépend de 6 p paramètres et est soumise à L liaisons (0 ≤ L ≤ 6 p — 1), chacune de ces L liaisons étant réalisée par un système physique convenablement choisi ou par contact entre solides. Dans le cas où la situation de cette chaîne peut être effectivement précisée à l'aide de (6p — L) paramètres indépendants, on dit que la chaîne a (6p — L) degrés de liberté.

Chaînes usuelles de solides

Une sphère (S) reste au contact d'un plan (R) (que l'on prend comme plan Oxy) ; le système de ces deux solides est soumis à une liaison : la cote z du centre de la sphère doit être égale au rayon a de la sphère, si l'on suppose que le contact a lieu du côté des cotes positives, et z – a = 0. Cette liaison laisse la possibilité de situer (S) dans (R) par les cinq paramètres indépendants x, y, ψ, θ, ϕ. Si l'on impose qu'il n'y ait pas de glissement au point de contact M de (S) et de (R), il y a lieu de traduire que MM {RS}= 0, ce qui introduit deux nouvelles liaisons :

Ces liaisons ne laissent plus la possibilité de situer (S) dans (R) à l'aide de paramètres indépendants choisis parmi x, y, ψ, θ, ϕ.

Si un solide (S) a un axe fixé par rapport à (R), on peut supposer que OS = O et que zS = z. Une telle fixation s'appelle un rotoïde ; elle permet de laisser au solide (S) un degré de liberté α par rapport à (R). L'axe Oz est appelé axe du rotoïde. Dans une suspension à la Cardan (fig. 7) à trois degrés de liberté, le mouvement du solide (4) par rapport au bâti (1) dépend des valeurs des trois angles d'Euler indépendants l'un par rapport à l'autre, ψ, θ, ϕ : le solide (2) est lié au bâti (1) par une articulation rotoïde d'axe Oz1 (le solide (2) est l'armature externe du cardan) ; le solide (3) est lié au solide (2) par une articulation rotoïde d'axe Onorthogonal à Oz1 (le solide (3) est l'armature interne du cardan) ; enfin le solide (4) est lié au solide (3) par une articulation rotoïde d'axe Oz4 orthogonal à On. Ainsi le solide (4) se trouve avoir un point fixé O dans son mouvement par rapport au bâti (1).

Suspension de Cardan

Dessin : Suspension de Cardan

Suspension de Cardan à deux armatures 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Dans le système bielle-manivelle, on distingue le bâti (1), la manivelle (2), la bielle (3), le piston (4) (fig. 8). La manivelle est liée au bâti par une articulation rotoïde d'axe Oz (perpendiculaire au plan de la figure), la bielle est liée à la manivelle par une articulation rotoïde d'axe Az (son mouvement par rapport au bâti est un mouvement plan sur plan), le piston est lié à la bielle par une articulation rotoïde d'axe Bz (le mouvement du piston par rapport au bâti est un mouvement de translation rectiligne). On peut dire que cette chaîne des trois solides (2), (3), (4) a un degré de liberté α par rapport au bâti (1), car on peut exprimer β et x (B), ce qui permet de formuler (en fonction de α, α′, α″) les vitesses et accélérations, par rapport à l'un quelconque de ces quatre solides, d'un point lié à un autre quelconque d'entre eux.

Bielle / manivelle

Dessin : Bielle / manivelle

Système bielle-manivelle constitué d'un bâti (1) d'une manivelle (2), d'une bielle (3) et d'un piston (4) 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Bielle / manivelle

Dessin : Bielle / manivelle

Système bielle-manivelle constitué d'un bâti (1) d'une manivelle (2), d'une bielle (3) et d'un piston (4) 

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Solide invariable

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Représentation cylindro-polaire

Représentation cylindro-polaire
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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
  • : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Jeanine MOREL, « CINÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/cinematique/