CINÉMATIQUE

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Composition des mouvements

L'étude systématique des relations entre les trajectoires et les vecteurs cinématiques d'un même point M (et notamment d'un même point MS) relativement à deux (ou à plus de deux) repères conduit à la théorie de la composition des mouvements. On considère deux repères mobiles l'un par rapport à l'autre au cours du temps ; on connaît donc le vecteur de situation OλOμen fonction du temps sur l'une des deux bases (λ) ou (μ) et, par exemple, les vecteurs xμ, yμ, zμ en fonction du temps sur la base (λ) ; cela signifie en particulier que l'on sait dans lequel des trois cas se trouve (μ), en ce qui concerne son orientation angulaire par rapport à (λ) (fig. 4, 5, 6) ; ωλμ est donc évalué. On suppose que le vecteur de situation de M dans (μ) est connu en fonction du temps.

xμ(M), yμ(M) et zμ(M) sont des fonctions connues du temps définissant paramétriquement la trajectoire Γ(μ) (M).

Translation

Dessin : Translation

xs, ys, z sont indépendants du temps. On dit alors que le solide (S) est en translation par rapport au repère (R). 

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Orientation angulaire

Dessin : Orientation angulaire

L'un des 3 vecteurs xs, ys, zs est indépendant du temps (zs ici). L'orientation angulaire du solide (S) par rapport au repère (R) est caractérisée par la fonction : a (t) = (x, xs) = (y, ys) mesurée sur z = zs

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Angles d'Euler

Dessin : Angles d'Euler

Les trois vecteurs X⃗s, Y⃗s, Z⃗s dépendent du temps.L'orientation angulaire du solide (S) par rapport au repère (R) est précisée par la donnée des 3 angles d'Euler : la précession ?(t), la nutation ϑ(t) et la rotation propre f(t). On démontre que :x' = ω ∧ xz ; ys =... 

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On peut exprimer par exemple :

et lier les vecteurs unitaires des deux bases à l'aide du tableau 1 ; le vecteur de situation OλMde M dans (λ) a donc pour expression OλOμ + OμM, c'est-à-dire pour composantes dans (λ) les fonctions du temps :
qui définissent paramétriquement la trajectoire Γ(λ)(M). Cette étude montre comment se fait le passage (de manière généralement analytique et compliquée) de la trajectoire de M dans (μ) à la trajectoire de M dans (λ).

Lecture en ligne de vecteurs unitaires

Tableau : Lecture en ligne de vecteurs unitaires

L'utilisation de ce tableau permet par «lecture en ligne» d'obtenir les vecteurs unitaires de la base ? en fonction de ceux de la base µ; la lecture en colonne résout le problème inverse. 

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On montre immédiatement que si l'on exprime le vecteur L(t) par ses composantes xμyμzμ sur la base (μ) et par ses composantes xλyλzλ sur la base (λ), et si l'on pose selon l'usage :

alors :
en particulier, la théorie de composition des vitesses et des accélérations utilise cette formule dans les cas où L = OμM et L = V (μ) (M).

Pour obtenir la formule dite de composition des vitesses, on dérive, par rapport au temps dans le repère (λ), chaque membre de l'identité : OλM = OλOμ + OμM ; on obtient, d'après ce qui précède :

Dans cette formule, on distingue alors le groupement :

dans lequel le torseur distributeur des vitesses de (μ) dans (λ) est défini par ses éléments de réduction en Oμ, savoir : ωλμ (somme géométrique), V

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Solide invariable

Solide invariable
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Représentation cylindro-polaire

Représentation cylindro-polaire
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Accélération tangentielle

Accélération tangentielle
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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
  • : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Jeanine MOREL, « CINÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 15 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/cinematique/