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CINÉMATIQUE

Composition des mouvements

L' étude systématique des relations entre les trajectoires et les vecteurs cinématiques d'un même point M (et notamment d'un même point MS) relativement à deux (ou à plus de deux) repères conduit à la théorie de la composition des mouvements. On considère deux repères mobiles l'un par rapport à l'autre au cours du temps ; on connaît donc le vecteur de situation OλOμen fonction du temps sur l'une des deux bases (λ) ou (μ) et, par exemple, les vecteurs xμ, yμ, zμ en fonction du temps sur la base (λ) ; cela signifie en particulier que l'on sait dans lequel des trois cas se trouve (μ), en ce qui concerne son orientation angulaire par rapport à (λ) (fig. 4, 5, 6) ; ωλμ est donc évalué. On suppose que le vecteur de situation de M dans (μ) est connu en fonction du temps.

xμ(M), yμ(M) et zμ(M) sont des fonctions connues du temps définissant paramétriquement la trajectoire Γ(μ) (M).

Lecture en ligne de vecteurs unitaires - crédits : Encyclopædia Universalis France

Lecture en ligne de vecteurs unitaires

On peut exprimer par exemple :

et lier les vecteurs unitaires des deux bases à l'aide du tableau 1 ; le vecteur de situation OλMde M dans (λ) a donc pour expression OλOμ + OμM, c'est-à-dire pour composantes dans (λ) les fonctions du temps :
qui définissent paramétriquement la trajectoire Γ(λ)(M). Cette étude montre comment se fait le passage (de manière généralement analytique et compliquée) de la trajectoire de M dans (μ) à la trajectoire de M dans (λ).

On montre immédiatement que si l'on exprime le vecteur L(t) par ses composantes xμ, yμ, zμ sur la base (μ) et par ses composantes xλ, yλ, zλ sur la base (λ), et si l'on pose selon l'usage :

alors :
en particulier, la théorie de composition des vitesses et des accélérations utilise cette formule dans les cas où L = OμM et L = V(μ) (M).

Pour obtenir la formule dite de composition des vitesses, on dérive, par rapport au temps dans le repère (λ), chaque membre de l'identité : OλM = OλOμ + OμM ; on obtient, d'après ce qui précède :

Dans cette formule, on distingue alors le groupement :

dans lequel le torseur distributeur des vitesses de (μ) dans (λ) est défini par ses éléments de réduction en Oμ, savoir : ωλμ (somme géométrique), V(λ) (Oμ) (moment).

Ainsi la formule fondamentale de composition des vitesses peut s'écrire utilement sous forme condensée :

Le vecteur MM {λμ} est souvent appelé vitesse d'entraînement de M dans le mouvement de (μ) par rapport à (λ).

Pour obtenir la formule dite de composition des accélérations, on dérive par rapport au temps dans le repère (λ) chaque membre de la formule de composition des vitesses ; on obtient :

Le vecteur 2ωλμ ∧ V(μ)(M) = JC(Mλμ) est souvent appelé accélération de Coriolis de M dans le mouvement de (μ) par rapport à (λ) ; ce vecteur est nul si le mouvement de (μ) par rapport à (λ) est une translation, ou si M est immobile dans (μ) ou si V(μ)(M) est parallèle à ωλμ.

Le vecteur :

est souvent appelé accélération d'entraînement de M dans le mouvement de (μ) par rapport à (λ).

Les formules de composition des vitesses et des accélérations sont utilisées, dans la plupart des cas pratiques, en faisant intervenir plus de deux repères (dans le plus simple des mécanismes, il y a toujours un bâti, une entrée et une sortie d'énergie, ce qui fait au moins trois repères). On démontre par permutation et addition, les formules suivantes :

qui s'étendent à un nombre fini de repères. De même :
et l'on voit que :
formules qui s'étendent aussi à un nombre fini de repères.

Dans certains raisonnements de cinétique et de dynamique interviennent des repères en translation les uns par rapport aux autres ; si (μ) est en translation par rapport à (λ), les formules de composition se simplifient considérablement :

Accélération de Coriolis - crédits : Encyclopædia Universalis France

Accélération de Coriolis

Il est remarquable que la mise[...]

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Écrit par

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
  • : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Solide invariable - crédits : Encyclopædia Universalis France

Solide invariable

Représentation cylindro-polaire - crédits : Encyclopædia Universalis France

Représentation cylindro-polaire

Accélération tangentielle - crédits : Encyclopædia Universalis France

Accélération tangentielle

Autres références

  • EINSTEIN ALBERT (1879-1955)

    • Écrit par Michel PATY
    • 6 493 mots
    • 7 médias
    ...durées dans le système considéré au repos par rapport à ces grandeurs définies dans le système en mouvement :
    Ce sont des propriétés physiques de nature cinématique. Il déduisit également la nouvelle formule relativiste d'addition des vitesses :
    pour des vitesses colinéaires v et w), qui gouverne...
  • ENGRENAGES

    • Écrit par Michel CAZIN, Étienne GAIGNEBET
    • 2 143 mots
    • 9 médias
    Étant donné un repère de référence que l'on notera (O), repère lié à un bâti, et deux solides S1 et S2 tournant autour d'axes fixes par rapport à (O) : Δ0,1, Δ0,2, on recherche les surfaces de contact Σ1 et Σ2 de S1 et de S2 pour qu'une rotation de S1 entraîne une rotation...
  • FLUIDES MÉCANIQUE DES

    • Écrit par Jean-François DEVILLERS, Claude FRANÇOIS, Bernard LE FUR
    • 8 791 mots
    • 4 médias
    Imaginons à l'intérieur d'un fluide une surface fermée entourant un point M, à l'intérieur de laquelle se trouvent, à un instant donné t, un certain nombre de molécules dont le centre d'inertie se déplace avec une certaine vitesse. Lorsque les dimensions de la surface tendent...
  • FORME

    • Écrit par Jean PETITOT
    • 27 344 mots
    ...mouvement qui en est le phénomène. La mécanique doit se restreindre à la légalisation catégoriale et à la détermination mathématique de ce phénomène. Kant développe alors une lecture transcendantale d'abord de la cinématique (le groupe de la relativité galiléenne) et ensuite de la mécanique (lois...
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Voir aussi