ENGRENAGES

Les engrenages sont des systèmes mécaniques qui permettent la transformation d'un mouvement de rotation en un autre mouvement de rotation, les deux rotations s'effectuant autour d'axes fixes l'un par rapport à l'autre. Ces axes peuvent être parallèles, concourants ou quelconques. Chargés de transmettre à l'arbre d'entrée du système récepteur l'énergie disponible sur un « axe moteur », les engrenages doivent résister aux brusques variations de régime et fonctionner de telle sorte que les vitesses angulaires des deux arbres restent dans un rapport constant. On exposera ici l'étude géométrique de cette dernière condition.

Surfaces primitives

Étant donné un repère de référence que l'on notera (O), repère lié à un bâti, et deux solides S₁ et S₂ tournant autour d'axes fixes par rapport à (O) : Δ_0,1, Δ_0,2, on recherche les surfaces de contact Σ₁ et Σ₂ de S₁ et de S₂ pour qu'une rotation de S₁ entraîne une rotation de S₂ (cf. cinématique).

On définira les mouvements des solides S₁ et S₂ (roues) par rapport au repère (O) par les torseurs distributeurs des vitesses qui leur sont associés, et que l'on note {⁰₁} et {⁰₂}.

La vitesse angulaire ω ⁰_i du solide i (i = 1 ou 2) est la somme géométrique du torseur distributeur {⁰_i} ; et, comme les torseurs distributeurs obéissent à une loi de Chasles sur leurs indices, le taux de rotation du solide 1 par rapport au solide 2 est :

De manière générale, étant donné deux solides S₁ et S₂ en mouvement l'un par rapport à l'autre, on peut définir le champ des vitesses, par rapport au solide S₁, des points liés au solide S₂, et l'on sait que ce champ des vitesses est le champ des moments du torseur {¹₂} ; pour cette raison, le vecteur de champ (vecteur vitesse) est le même en tout point de l'axe du torseur distributeur {¹₂}, et c'est sur cet axe qu'il possède un module minimal.

Il convient donc de rechercher l'axe central Δ_1,2 du torseur distributeur des vitesses {²₁}, c'est-à-dire l'ensemble des points Q tels que le vecteur de champ en Q, M_Q{¹₂}, soit parallèle à s {²₁}. Pour cela, on choisit en premier lieu un repère (O) particulier, permettant des calculs simples, et que l'on construit de la façon suivante.

Soit Oz un axe porté par la perpendiculaire commune aux axes Δ_0,1 et Δ_0,2 et coupant ces derniers respectivement aux points A et B, choisis de telle façon que leurs coordonnées soient respectivement (0, 0, − h), et (0, 0, h). Les vecteurs unitaires x et y seront portés par les bissectrices des angles formés par les projections, sur le plan médiateur de AB, des axes Δ_0,1 et Δ_0,2 . Les vitesses angulaires peuvent donc s'écrire sous la forme :

Appelons x, y, z les coordonnées de Q(OQ = xx + yy + zz) ; il vient :

Les composantes de M_Q sur le repère (O) particulier sont :

L'axe central est défini par les équations :

L'axe central de {²₁} est donc perpendiculaire en M à la perpendiculaire commune aux axes centraux Δ_0,1 et Δ_0,2.

Cas particuliers importants

1. Si les axes centraux Δ_0,1 et Δ_0,2 sont parallèles, α = 0 ; les équations de l'axe central du torseur {²₁} sont alors :

L'axe central Δ_1,2 est, dans ce cas, l'axe instantané de rotation de {²₁}. 2. Si les axes centraux sont concourants, α ≠ 0 et h = 0 ; les équations de l'axe central du torseur {²₁} s'écrivent :

L'axe central est alors l'axe instantané de rotation {²₁}.