CHAOS, physique

La sensibilité aux conditions initiales

Regardons de plus près l'aspect graphique de l'itération citée plus haut. En considérant la parabole X_t+1 = AX_t(1 − X_t) dans l'intervalle [0, 1], l'itération se pratique aisément à partir d'une valeur X₀ en se servant de la première bissectrice. En partant d'un point très voisin X′₀ = X₀ + δ X et itérant de la même manière, les écarts δ = X_t+1 − X_t+1 obtenus à chaque itération sont en moyenne supérieurs aux δ X_t calculés précédemment : ils sont multipliés à chaque fois par la pente P de la parabole qui se révèle, en moyenne, être supérieure à l'unité. Un écart, une erreur initiale multipliée à chaque itération par P, croît donc, en moyenne, exponentiellement avec leur nombre. C'est dire que les deux points voisins X₀ et X′₀ = X₀ + δ X auront rapidement des images très différentes. Autrement dit, les deux suites :

un court moment semblables, différeront rapidement au point de n'avoir plus aucune ressemblance l'une avec l'autre. Ressemblantes dans le « passé », elles divergent dans le futur, d'où leur imprédictibilité. Il est nécessaire de rappeler à ce propos que la prédictibilité est fondée sur la permanence d'une ressemblance qui permet d'extrapoler, à partir de la connaissance du passé, le comportement à venir : il faudrait ici connaître le passé avec une précision infinie pour prévoir l'avenir, chose impossible en pratique. D'après ce que nous avons admis ci-dessus, la suite des itérés est donc chaotique bien que déterministe du fait de cette « sensibilité aux conditions initiales » ou S.C.I., véritable clef de la compréhension du chaos déterministe. Dans la pratique, le mot de chaos est donc devenu synonyme de chaos déterministe.

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