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CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

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Détermination d'une fonction par sa dérivée

Soit F et G, deux fonctions admettant en un point t des dérivées F′(t) et G′(t) ; on voit facilement qu'alors les fonctions F + G, F − G et FG admettent aussi, au point t, des dérivées données par des formules simples, et égales respectivement à :

La meilleure façon d'établir ces résultats est d'utiliser la notation de Landau (cf. calculs asymptotiques) et d'écrire, ce qui est clair d'après (19), qu'une fonction F admet au point t une dérivée égale à b si et seulement si l'on a la relation :

lorsque h tend vers 0 ; écrivant de même que :
lorsque h tend vers 0, avec c = G′(t), on en déduit par addition que :
d'où l'existence et le calcul de la dérivée de F + G...

Cela dit, et en nous bornant aux fonctions dérivables pour éviter des complications secondaires (mais les résultats que nous allons établir seraient encore valables, moyennant des modifications triviales, pour des fonctions admettant partout des dérivées à droite et à gauche), considérons deux solutions F1 et F2 de l'équation (24) ; la fonction F = F1 − F2 admet alors dans l'intervalle X considéré une dérivée :

On est alors amené à établir le résultat suivant :

Théorème 9. Soit F une fonction définie dans un intervalle X et admettant, en tout point de X, une dérivée égale à 0. Alors la fonction F est constante dans X.

Si l'on admet ce théorème, on voit que deux solutions quelconques de (24) diffèrent entre elles d'une simple constante. Si donc l'on connaît une solution F de (24), et si l'on choisit un point a de X, on aura une relation de la forme :

où c est une constante indépendante de t. En particulier, pour t = a, on obtient la relation :

Autrement dit :

Théorème 10. Soit f une fonction continue dans un intervalle X et F une fonction dérivable dans X telle que F′(t) = f (t) pour tout t ∈ X. On a alors :

quels que soient a, b ∈ X.

C'est ce qu'on appelle fréquemment le théorème fondamental du calcul infinitésimal puisqu'il montre l'équivalence entre les deux problèmes suivants : calculer

pour toutes les valeurs possibles de a et b ; trouver une fonction F telle que F′(t) = f (t) quel que soit t. Si, par exemple, l'on sait que la dérivée de la fonction x15 est 15x14, de sorte qu'on a F′(t) = f (t) si f (t) = x14 et F(t) = x15/15, on peut immédiatement écrire :
quels que soient a et b, sans autre calcul.

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Roger GODEMENT. CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

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Autres références

  • ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

    • Écrit par
    • 1 304 mots

    À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler...

  • ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)

    • Écrit par
    • 2 652 mots
    • 2 médias
    Archimède - Syracuse (Sicile) - crédits : AKG-images
    ...volumes par excès et défaut en remplaçant chaque couche par un cylindre circonscrit ou inscrit. Il utilisera, pour conclure, le raisonnement appelé, depuis le xviie siècle,« par exhaustion », et qui remonte à Eudoxe. Apparaissent ainsi nos « sommes de Riemann » et nos intégrales définies.

  • BARROW ISAAC (1630-1677)

    • Écrit par
    • 305 mots

    Mathématicien et théologien anglais qui fut un des précurseurs du calcul infinitésimal. Ordonné ministre anglican en 1668, Isaac Barrow enseigna le grec à l'université de Cambridge (1660-1663) et fut nommé, en 1662, professeur de mathématiques au collège Gresham de Londres. En 1664, il devient professeur...

  • BERNOULLI LES

    • Écrit par
    • 1 238 mots
    • 1 média
    Jean Bernoulli - crédits : AKG-images
    – Systématisation du calcul infinitésimal. En 1687, Jacques écrit à Leibniz pour lui demander de lui préciser de nombreux points obscurs des premiers fondements du calcul infinitésimal parus dans les Acta eruditorum en 1684. Leibniz, absent de Hanovre, ne répondit qu'en 1690 et la tradition...
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