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CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

Détermination d'une fonction par sa dérivée

Soit F et G, deux fonctions admettant en un point t des dérivées F′(t) et G′(t) ; on voit facilement qu'alors les fonctions F + G, F − G et FG admettent aussi, au point t, des dérivées données par des formules simples, et égales respectivement à :

La meilleure façon d'établir ces résultats est d'utiliser la notation de Landau (cf. calculs asymptotiques) et d'écrire, ce qui est clair d'après (19), qu'une fonction F admet au point t une dérivée égale à b si et seulement si l'on a la relation :

lorsque h tend vers 0 ; écrivant de même que :
lorsque h tend vers 0, avec c = G′(t), on en déduit par addition que :
d'où l'existence et le calcul de la dérivée de F + G...

Cela dit, et en nous bornant aux fonctions dérivables pour éviter des complications secondaires (mais les résultats que nous allons établir seraient encore valables, moyennant des modifications triviales, pour des fonctions admettant partout des dérivées à droite et à gauche), considérons deux solutions F1 et F2 de l'équation (24) ; la fonction F = F1 − F2 admet alors dans l'intervalle X considéré une dérivée :

On est alors amené à établir le résultat suivant :

Théorème 9. Soit F une fonction définie dans un intervalle X et admettant, en tout point de X, une dérivée égale à 0. Alors la fonction F est constante dans X.

Si l'on admet ce théorème, on voit que deux solutions quelconques de (24) diffèrent entre elles d'une simple constante. Si donc l'on connaît une solution F de (24), et si l'on choisit un point a de X, on aura une relation de la forme :

où c est une constante indépendante de t. En particulier, pour t = a, on obtient la relation :

Autrement dit :

Théorème 10. Soit f une fonction continue dans un intervalle X et F une fonction dérivable dans X telle que F′(t) = f (t) pour tout t ∈ X. On a alors :

quels que soient a, b ∈ X.

C'est ce qu'on appelle fréquemment le théorème fondamental du calcul infinitésimal puisqu'il montre l'équivalence entre les deux problèmes suivants : calculer

pour toutes les valeurs possibles de a et b ; trouver une fonction F telle que F′(t) = f (t) quel que soit t. Si, par exemple, l'on sait que la dérivée de la fonction x15 est 15x14, de sorte qu'on a F′(t) = f (t) si f (t) = x14 et F(t) = x15/15, on peut immédiatement écrire :
quels que soient a et b, sans autre calcul.

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Roger GODEMENT, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :

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Autres références

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