CALCUL INFINITÉSIMALCalcul à une variable

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Détermination d'une fonction par sa dérivée

Soit F et G, deux fonctions admettant en un point t des dérivées F′(t) et G′(t) ; on voit facilement qu'alors les fonctions F + G, F − G et FG admettent aussi, au point t, des dérivées données par des formules simples, et égales respectivement à :

La meilleure façon d'établir ces résultats est d'utiliser la notation de Landau (cf. calculs asymptotiques) et d'écrire, ce qui est clair d'après (19), qu'une fonction F admet au point t une dérivée égale à b si et seulement si l'on a la relation :

lorsque h tend vers 0 ; écrivant de même que :
lorsque h tend vers 0, avec = G′(t), on en déduit par addition que :
d'où l'existence et le calcul de la dérivée de F + G...

Cela dit, et en nous bornant aux fonctions dérivables pour éviter des complications secondaires (mais les résultats que nous allons établir seraient encore valables, moyennant des modifications triviales, pour des fonctions admettant partout des dérivées à droite et à gauche), considérons deux solutions F1 et F2 de l'équation (24) ; la fonction F = F1 − F2 admet alors dans l'intervalle X considéré une dérivée :

On est alors amené à établir le résultat suivant :

Théorème 9. Soit F une fonction définie dans un intervalle X et admettant, en tout point de X, une dérivée égale à 0. Alors la fonction F est constante dans X.

Si l'on admet ce théorème, on voit que deux solutions quelconques de (24) diffèrent entre elles d'une simple constante. Si donc l'on connaît une solution F de (24), et si l'on choisit un point a de X, on aura une relation de la forme :

c est une constante indépendante de t. En particulier, pour t = a, on obtient la relation :

Autrement dit :

Théorème 10. Soit f une fonction continue dans un intervalle X et F une fonction dérivable dans X telle que F′(t) = (t) pour tout ∈ X. On a alors :

quels que soient a, ∈ X.

C'est ce qu'on appelle fréquemment le théorème fondamental du calcul infinitésimal puisqu'il montre l'équivalence entre les deux problèmes suivants : calculer

pour toutes les valeurs possibles de a et b ; trouver une fonction F telle que F′(t) = (

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 17 pages

Médias de l’article

Fonction étagée

Fonction étagée
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Fonction réglée

Fonction réglée
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Intervalles

Intervalles
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Accroissements finis

Accroissements finis
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Afficher les 6 médias de l'article


Écrit par :

Classification

Autres références

«  CALCUL INFINITÉSIMAL  » est également traité dans :

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par 
  • René TATON
  •  • 11 508 mots
  •  • 3 médias

L'expression « calcul infinitésimal » désigne habituellement l'ensemble des notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations, tel qu'il a été mis au point au cours des xviie et xviiie siècles, instrument merveilleux qui ouvrit aux mathématiques […] Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

  • Écrit par 
  • Georges GLAESER
  •  • 5 618 mots

Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d'un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu'au début du xxe siècle.Ce n'est qu'aux environs de 1930 que sont abordés les problèmes difficiles de cette branche de l'analy […] Lire la suite

ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 309 mots

À l'aube du xix e  siècle, le mathématicien norvégien N. H. Abel allait révolutionner sa science, et Hermite a pu déclarer : « Il a laissé aux mathématiciens de quoi s'occuper pendant cinq cents ans. » D'abord algébriste, il établit l'impossibilité de résolution par radicaux des équations algébriques de degré ≥ 5 et sa méthode ouvrait la voie aux travaux de Galois sur les groupes de substitution d […] Lire la suite

ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  •  • 2 650 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « De l'intuition à la preuve »  : […] Puis, sur sa lancée, il « pèse » la sphère et montre que « toute sphère est quadruple du cône ayant la base égale au grand cercle de la sphère et la hauteur égale au rayon de la sphère ». Il invente ses sphéroïdes – nos ellipsoïdes de révolution – et il les pèse, ainsi que leurs segments et les segments de sphère. Il invente ses conoïdes droits – nos paraboloïdes de révolution – et il les pèse, c' […] Lire la suite

BARROW ISAAC (1630-1677)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 306 mots

Mathématicien et théologien anglais qui fut un des précurseurs du calcul infinitésimal. Ordonné ministre anglican en 1668, Isaac Barrow enseigna le grec à l'université de Cambridge (1660-1663) et fut nommé, en 1662, professeur de mathématiques au collège Gresham de Londres. En 1664, il devient professeur de mathématiques à l'université de Cambridge. Parmi les premiers travaux de Barrow, relatifs p […] Lire la suite

BERNOULLI LES

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 1 243 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Jean Bernoulli »  : […] Frère cadet de Jacques, Jean Bernoulli (1667-1748) étudia d'abord la médecine, mais, attiré invinciblement par les mathématiques, il se consacra vite aux sciences exactes. Nommé professeur à Groningue en 1695 sur la recommandation de Huygens, il succéda en 1705 à l'université de Bâle à son frère Jacques, à la mort de ce dernier. D'un caractère vif et emporté, il ne supportait pas de ne pas être […] Lire la suite

LE CALCUL DES FLUXIONS (I. Newton)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 204 mots
  •  • 1 média

En octobre 1666, Isaac Newton (1642-1727) écrit Le Calcul des fluxions qui, sans être immédiatement publié, sera déterminant pour le développement du calcul différentiel. Il y définit le concept de fluxions. Newton décrit une particule parcourant une courbe à l'aide de deux quantités : la vitesse horizontale x' et la vitesse verticale y' qu'il appelle fluxions des quantités fluentes x et y as […] Lire la suite

CANTOR GEORG (1845-1918)

  • Écrit par 
  • Hourya BENIS-SINACEUR
  •  • 2 887 mots
  •  • 1 média

Georg Cantor est le mathématicien de génie qui a ouvert pour les mathématiques le paradis de l’infini . Il a développé la théorie des ensembles qui permet de traiter tout objet mathématique comme un ensemble d’éléments déterminé, fini ou infini, et a introduit le concept de transfini, qui permet une arithmétique de l’infiniment grand. C’est une rupture avec deux mille ans d’histoire, saluée avec […] Lire la suite

CARLEMAN TORSTEN (1892-1949)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 215 mots

Avant d'enseigner, Carleman travailla à l'université d'Upsal (où il il fit ses études supérieures) et publia une trentaine d'articles mathématiques traitant de la théorie des fonctions d'une variable réelle ou complexe et de la théorie des équations intégrales ; parmi ces œuvres, les plus connues sont : Sur les équations singulières à noyau réel et symétrique (1923) et Les Fonctions quasi analyt […] Lire la suite

CARNOT LAZARE NICOLAS MARGUERITE (1753-1823)

  • Écrit par 
  • Jan SEBESTIK
  •  • 1 449 mots
  •  • 1 média

Dans les manuels d'histoire, la grande figure de l'« Organisateur de la victoire » plane, seule respectable, bien au-dessus des figures sanguinaires de la Révolution. Fils d'un avocat et notaire bourguignon, Lazare Carnot fait de bonnes études secondaires à Autun, entre à dix-huit ans à l'École du génie de Mézières, arrive en garnison en 1783 comme capitaine à Arras, y fréquente Robespierre. Chaud […] Lire la suite

Pour citer l’article

Roger GODEMENT, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-une-variable/