CALCUL INFINITÉSIMALCalcul à une variable

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Théorème du maximum

Comme nous allons le voir, il suffit pour cela d'établir le résultat suivant :

Théorème 12. Soit F une fonction définie et continue sur un intervalle compact X. Il existe un c′∈X tel que l'on ait F(x) ≤ F(c′) pour tout ∈ X, et un c″∈ X tel que l'on ait F(c″) ≤ F(x) pour tout ∈ X.

Avant d'établir le théorème 12, montrons comment il implique le théorème 11 bis. Tout d'abord la fonction F du théorème 11 bis, étant dérivable en tout point de X, est continue. En effet, pour tout ∈ X, il existe, d'après les relations (21) et (22), que l'on écrira pour = 0, des nombres h′ et h″ tels que l'on ait h′ < 0 < h″ et tels que :

(le cas où = 0 est exclu de (21) et (22), mais se traite directement par vérification triviale). Posant M = 1 + |F′(t)|, on en déduit que l'on a |F(h) − F(t)| ≤ M || pour h′ < < h″. Choisissons un entier n tel que M ≤ 10n ; alors M |h | ≤ 10-p pourvu que || ≤ 10-p-n. Les t′ tels que le nombre h = t′ − t vérifie à la fois h′ < h < h″ et || ≤ 10-p-n forment un intervalle ouvert I(t) contenant le point t, et le raisonnement précédent montre que, pour t′ ∈ X ∩ I(t), on a |F(t′) − F(t)| ≤ 10-p, autrement dit que F est constante à 10-p près dans X ∩ I(t) : d'où la continuité de F en t (cf. fin du chap. 5).

Cela dit, le théorème 12 s'applique à F, d'où des points c′ et c″ dans X tels que l'on ait F(c″) ≤ F(x) ≤ F(c′) pour tout ∈ X. Si l'on a < c′ < b, la condition (30) est réalisée ; si l'on a c″ < b, la condition (31) l'est, et dans chacun de ces deux cas le théorème 11 bis est démontré, comme on l'a vu. Il reste à examiner le cas où c′ et c″ sont situés aux extrémités de X. Mais comme F(a) = F(b), on a alors F(c′) = F(c″) = F(a) = F(b), donc F(x) = F(a) = F(b) pour tout ∈ X, et la fonction F est constante, d'où F′(t) = 0, quel que soit ∈ X, de sorte que le théorème 11 bis est trivialement vrai dans ce cas aussi.

Passons maintenant à la démonstration du théorème 12. Tout d'abord la fonction, étant continue sur l'intervalle compact X, est réglée sur X d'après le théorème 6, comme nous l'avons déjà observé au chapi [...]


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Pour citer l’article

Roger GODEMENT, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 28 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-une-variable/