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CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

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Théorème du maximum

Comme nous allons le voir, il suffit pour cela d'établir le résultat suivant :

Théorème 12. Soit F une fonction définie et continue sur un intervalle compact X. Il existe un c′∈X tel que l'on ait F(x) ≤ F(c′) pour tout x ∈ X, et un c″∈ X tel que l'on ait F(c″) ≤ F(x) pour tout x ∈ X.

Avant d'établir le théorème 12, montrons comment il implique le théorème 11 bis. Tout d'abord la fonction F du théorème 11 bis, étant dérivable en tout point de X, est continue. En effet, pour tout t ∈ X, il existe, d'après les relations (21) et (22), que l'on écrira pour p = 0, des nombres h′ et h″ tels que l'on ait h′ < 0 < h″ et tels que :

(le cas où h = 0 est exclu de (21) et (22), mais se traite directement par vérification triviale). Posant M = 1 + |F′(t)|, on en déduit que l'on a |F(t + h) − F(t)| ≤ M |h | pour h′ < h < h″. Choisissons un entier n tel que M ≤ 10n ; alors M |h | ≤ 10-p pourvu que |h | ≤ 10-p-n. Les t′ tels que le nombre h = t′ − t vérifie à la fois h′ < h < h″ et |h | ≤ 10-p-n forment un intervalle ouvert I(t) contenant le point t, et le raisonnement précédent montre que, pour t′ ∈ X ∩ I(t), on a |F(t′) − F(t)| ≤ 10-p, autrement dit que F est constante à 10-p près dans X ∩ I(t) : d'où la continuité de F en t (cf. fin du chap. 5).

Cela dit, le théorème 12 s'applique à F, d'où des points c′ et c″ dans X tels que l'on ait F(c″) ≤ F(x) ≤ F(c′) pour tout x ∈ X. Si l'on a a < c′ < b, la condition (30) est réalisée ; si l'on a a < c″ < b, la condition (31) l'est, et dans chacun de ces deux cas le théorème 11 bis est démontré, comme on l'a vu. Il reste à examiner le cas où c′ et c″ sont situés aux extrémités de X. Mais comme F(a) = F(b), on a alors F(c′) = F(c″) = F(a) = F(b), donc F(x) = F(a) = F(b) pour tout x ∈ X, et la fonction F est constante, d'où F′(t) = 0, quel que soit t ∈ X, de sorte que le théorème 11 bis est trivialement vrai dans ce cas aussi.

Passons maintenant à la démonstration du théorème 12. Tout d'abord la fonction, étant continue sur l'intervalle compact X, est réglée sur X d'après le théorème 6, comme nous l'avons déjà observé au chapitre 5 ; elle est donc bornée sur X : choisir sur X une fonction étagée ϕ telle que l'on ait par exemple |F(x) − ϕ(x)| ≤ 1 pour tout x ∈ X, désigner par u et v la plus petite et la plus grande des valeurs (en nombre fini) prises par la fonction ϕ sur X, et observer qu'on a alors u − 1 ≤ F(x) ≤ v + 1 pour tout x ∈ X. L'ensemble F(X) des valeurs prises par la fonction F sur l'intervalle X est donc borné et admet par suite une borne supérieure M et une borne inférieure m (cf. chap. 1) ; toute la question est de prouver l'existence de nombres c′ et c″ ∈ X tels que m = F(c″) et M = F(c′) (ce qui, nous l'avons vu au chapitre 1, pourrait fort bien se révéler impossible si l'intervalle X n'était pas supposé être compact), et nous nous bornerons à prouver l'existence de c′, celle de c″ se démontrant de la même façon (ou, mieux encore, se déduisant de l'existence de c′ puisque c″ joue pour la fonction − F le même rôle que c′ pour la fonction F).

Or nous savons que, pour tout p, il existe des x ∈ X où l'on a M − 10-p ≤ F(x) ≤ M. Soit Ap l'ensemble de ces x ∈ X ; tout revient à prouver qu'il existe un point c commun à tous les Ap, car si l'on a :

quel que soit p, on aura[...]

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Roger GODEMENT. CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

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Fonction étagée

Encyclopædia Universalis France

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Fonction réglée

Encyclopædia Universalis France

Intervalles - crédits : Encyclopædia Universalis France

Intervalles

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Autres références

  • ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

    • Écrit par
    • 1 304 mots

    À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler...

  • ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)

    • Écrit par
    • 2 652 mots
    • 2 médias
    Archimède -&nbsp;Syracuse (Sicile) - crédits : AKG-images
    ...volumes par excès et défaut en remplaçant chaque couche par un cylindre circonscrit ou inscrit. Il utilisera, pour conclure, le raisonnement appelé, depuis le xviie siècle,« par exhaustion », et qui remonte à Eudoxe. Apparaissent ainsi nos « sommes de Riemann » et nos intégrales définies.

  • BARROW ISAAC (1630-1677)

    • Écrit par
    • 305 mots

    Mathématicien et théologien anglais qui fut un des précurseurs du calcul infinitésimal. Ordonné ministre anglican en 1668, Isaac Barrow enseigna le grec à l'université de Cambridge (1660-1663) et fut nommé, en 1662, professeur de mathématiques au collège Gresham de Londres. En 1664, il devient professeur...

  • BERNOULLI LES

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    Jean Bernoulli - crédits : AKG-images
    – Systématisation du calcul infinitésimal. En 1687, Jacques écrit à Leibniz pour lui demander de lui préciser de nombreux points obscurs des premiers fondements du calcul infinitésimal parus dans les Acta eruditorum en 1684. Leibniz, absent de Hanovre, ne répondit qu'en 1690 et la tradition...
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